Vectores unitarios en el plano. Coordenadas cartesianas de un vector respecto a la base canónica

Hemos estudiado los vectores vectores a los que llamamos unitarios porque sus módulos valen 1.

En la figura siguiente:

vectores


vectores

 

Vector unitario es el que su módulo vale 1.

Teniendo en cuenta la definición de vector unitario podemos decir que las coordenadas de un vector unitario pueden ser distintas a cero y a 1. Lo único que debes tener en cuenta es que su módulo valga 1.

Anteriormente estudiamos que para calcular el vector vectores a partir de los vectores perpendiculares  vectores  multiplicamos a sus módulos (de valor 1 cada uno) por los

valores de las coordenadas de y:

 

vectores


 

Es lógico que para hallar el vector unitario a partir de un vector cualquiera tengamos que dividir a sus coordenadas por su módulo.

Ejemplo:

En la figura anterior las coordenadas de vectores son (5,4). 

El módulo vale: vectores

Si divido a las coordenadas (5,4) por vectores obtendré un nuevo vector cuyas

coordenadas serán el cociente de 5 y 4 entre vectores, es decir, vectores

Comprobamos si el módulo del vector vectores vale 1:

 

vectores
 

Efectivamente el vector vectores es unitario y tiene la misma dirección y sentido que el vector vectores.


21.15 ¿Es unitario el vector vectores? ¿Porqué?


Respuesta: Sí, porque su módulo vale 1


Solución

vectores

 

21.16 ¿Es unitario el vector vectores? ¿ Porqué?
 

Respuesta: Sí, porque su módulo vale 1.

Solución: vectores

21.17 Las coordenadas del vector vectores son (3,4)¿cuáles son las coordenadas de un vector unitario con la misma dirección y sentido que vectores.

vectores

Solución

Para calcular las coordenadas de un vector unitario con la misma dirección y sentido al que nos proponen (recordamos lo que hemos dicho anteriormente), es la de dividir las coordenadas del vector dado entre el valor de su módulo:

Por ejemplo, las coordenadas del vector vectores son(3,4)¿cuáles son las coordenadas de un vector unitario con la misma dirección y sentido que vectores.
Calculo el módulo de vectores: vectores Ahora divido las coordenadas de vectores que son (3,4)entre el módulo que acabo de calcularlo que es 5.

Las coordenadas del vector unitario con la misma dirección y sentido que vectores será (llamándolevectores al vector unitario):

vectores

 

Lo comprobamos:

 

vectores
 

Vemos que el vectorvectores es unitario.

 

21.18 Supongamos el vector vectores que lo referimos a la base canónica. Calcula un vector con la misma dirección y sentido que tiene vectores pero que sea unitario.

Respuesta:

vectores

 

Solución


Después de calcular el módulo del vector vectores:

 

vectores
 

COORDENADAS CARTESIANAS DE UN VECTOR RESPECTO A LA BASE CANÓNICA


Las coordenadas cartesianas, es decir, con relación al eje de abscisas o eje y con relación al eje de las ordenadas o eje Y las expresamos (x,y).De este modo fijamos un punto en el eje de coordenadas.

Las coordenadas cartesianas de cualquier vector vectoresteniendo en cuenta los vectores unitarios podemos escribir:

vectores

 

A x e y le podemos dar cualquier valor y de este modo obtendremos vectores diferentes:

 

vectores

 

A partir de lo que acabas de estudiar realizamos el producto escalar de dos vectores en función de los vectores unitarios.

Es decir, calculamos del ejemplo anterior el producto de los dos vectores:

 

vectores

 

El producto vectores vale 0 porque si multiplicas las coordenadas de vectores

por las de vectores

De momento, el producto vale: vectores porque vectoresy vectores valen cero.

Como vectores valen 1 cada uno de ellos, vectores serán iguales a 1.

 

Vemos que vectores
 

21.19 ¿Cuánto vale el producto: vectores?

 

Respuesta: -34 Solución:

vectores

 

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