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sábado, 18 agosto 2018 español
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¿Cómo Funciona AulaFácil?

Producto escalar de dos vectores. Dos modos de calcular el producto escalar de dos vectores

El resultado tiene valor escalar.

Hasta ahora hemos considerado que los vectores unitarios vectores son perpendiculares. Pasamos a estudiar cuando entre ellos no hay 90º.


Procura entender bien lo siguiente:


En física, cuando aplicamos una fuerza a un cuerpo y éste se mueve decimos que hacemos un trabajo.

 

vectores

 

Sobre un suelo horizontal con un fuerza F trasladamos un peso de 100 kilos a una distancia d.

El producto vectores nos da el valor del trabajo(T).


vectores


Esto quiere decir que:

Cuanto más fuerza tenemos que hacer, el trabajo será mayor.

Cuanto mayor sea la distancia a la que hemos desplazado el cuerpo, mayor será el trabajo que hemos hecho.

Entendemos como trabajo, en Física (mecánica), como el producto de una Fuerza por la Distancia que recorre un cuerpo al que le hemos aplicado la fuerza.

La distancia que recorre es una magnitud vectorial porque tiene una medida –módulo-, una dirección y un sentido.

Lo mismo sucede con la fuerza que hacemos sobre el objeto. Tenemos que indicar de cuanto es el valor de la misma, su dirección y sentido, incluso podemos hablar de su punto de aplicación.

La fuerza la puedes aplicar en el mismo sentido que el desplazamiento. Tal como aparece en la última figura.
 

vectores


 

Pero el ángulo que forma la fuerza con el desplazamiento puede variar entre un ángulo de 0º a 90º.

vectores

 

  • En el primer caso, el ángulo entre F y d es de 0º.
  • En el segundo caso, el ángulo entre F y d es de 22º.
  • En el tercer caso, el ángulo entre F y d es de 90º.


¿Puede influir el ángulo en la cantidad de trabajo que tenemos que hacer?
La respuesta es sí.

¿Por qué?
No es lo mismo hacer una fuerza en una dirección distinta a la del desplazamiento.

El valor de la fuerza que actúa sobre el sólido en este caso, no tiene el mismo valor que si las direcciones de la fuerza y desplazamiento coincidieran.

Cuando existe un ángulo entre F y d, tenemos que calcular la fuerza (f) que actúa en el sólido en la misma dirección que su desplazamiento:
 

vectores

 

Como f es el cateto contiguo, hallamos el coseno de 45º:
 
vectores
 

La verdadera fuerza que actúa sobre el sólido es f. Es la fuerza que tiene la misma dirección que el desplazamiento.

La fórmula completa del trabajo será:
 
vectores
 
  • El coseno de 30ºvale >0, 8660.
  • El coseno de 45º vale 0, 7071.
  • El coseno de 70º vale 0, 3421.
  • El coseno de 90º vale 0, 0000.


Ves que a medida que aumenta el valor del ángulo, el valor del vectores
Volvemos al origen del tema que estamos tratando.


Producto escalar de dos vectores.

Según vemos, el producto de dos vectores F y d siendo αel ángulo entre ellos es un valor escalar que procede de multiplicar los valores escalares de dichos vectores por el coseno del ángulo.

A partir de ahora, tenemos en cuenta que dos vectores no sean perpendiculares tal como lo hemos considerado hasta ahora.

A los vectores los representamos con letras minúsculas y con una pequeña flecha sobre ellas indicando dirección y sentido: vectores.
Sus valores escalares o módulos los representamos: vectores

El valor escalar del vector

 

vectores

 

Es decir, vectores

Al coseno del ángulo que forman los vectores vectores lo representamos por vectores.
Ten en cuenta que vectores son números reales o escalares. En cambio,
vectores son vectores y los representamos:
 

vectores

 

El producto escalar de los dos vectores - vectores - es:

 

vectores

 


Como verás, en la fórmula del Trabajo decíamos que:

vectores

y lo que hemos hecho aplicar lo anteriormente explicado.


21.20 Calcula el ángulo formado por los vectores anguloy vectores.
Respuesta: 31º Solución: Tomamos la fórmula: vectores y despejamos: vectores

 

vectores

 

Recuerda que los módulos vectores valen:

 

vectores

 

Sustituyendo los datos conocidos:

vectores


vectores que corresponde a un ángulo de 31°


21.21 Calcula el ángulo formado por los vectores vectoresy vectores.


Respuesta: 22º
21.22 ¿Qué ángulo forman los vectores vectores

Respuesta: 42º

Solución:

vectores


vectores que corresponde a un ángulo de 42°

 

DOS MODOS DE CALCULAR EL PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES:

 

Hemos estudiado que el producto escalar de dos vectores:

vectores podemos hacerlo vectores

De donde obtenemos:

vectores


También sabemos que podemos calcular el producto de dos vectores conociendo el ángulo que forman dichos vectores:

 

vectores
 

Calculamos:

 

vectores

Sustituimos los valores hallados en la fórmula (I):

vectores

 

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