Producto escalar de dos vectores. Dos modos de calcular el producto escalar de dos vectores
El resultado tiene valor escalar.
son perpendiculares. Pasamos a estudiar cuando entre ellos no hay 90º.
Procura entender bien lo siguiente:
En física, cuando aplicamos una fuerza a un cuerpo y éste se mueve decimos que hacemos un trabajo.
Sobre un suelo horizontal con un fuerza F trasladamos un peso de 100 kilos a una distancia d.
El producto 
nos da el valor del trabajo(T).
Esto quiere decir que:
Cuanto más fuerza tenemos que hacer, el trabajo será mayor.
Cuanto mayor sea la distancia a la que hemos desplazado el cuerpo, mayor será el trabajo que hemos hecho.
Entendemos como trabajo, en Física (mecánica), como el producto de una Fuerza por la Distancia que recorre un cuerpo al que le hemos aplicado la fuerza.
La distancia que recorre es una magnitud vectorial porque tiene una medida –módulo-, una dirección y un sentido.
Lo mismo sucede con la fuerza que hacemos sobre el objeto. Tenemos que indicar de cuanto es el valor de la misma, su dirección y sentido, incluso podemos hablar de su punto de aplicación.
- En el primer caso, el ángulo entre F y d es de 0º.
- En el segundo caso, el ángulo entre F y d es de 22º.
- En el tercer caso, el ángulo entre F y d es de 90º.
¿Puede influir el ángulo en la cantidad de trabajo que tenemos que hacer?
La respuesta es sí.
¿Por qué?
No es lo mismo hacer una fuerza en una dirección distinta a la del desplazamiento.
El valor de la fuerza que actúa sobre el sólido en este caso, no tiene el mismo valor que si las direcciones de la fuerza y desplazamiento coincidieran.
La verdadera fuerza que actúa sobre el sólido es f. Es la fuerza que tiene la misma dirección que el desplazamiento.
- El coseno de 30ºvale >0, 8660.
- El coseno de 45º vale 0, 7071.
- El coseno de 70º vale 0, 3421.
- El coseno de 90º vale 0, 0000.
Ves que a medida que aumenta el valor del ángulo, el valor del 
Volvemos al origen del tema que estamos tratando.
Producto escalar de dos vectores.
Según vemos, el producto de dos vectores F y d siendo αel ángulo entre ellos es un valor escalar que procede de multiplicar los valores escalares de dichos vectores por el coseno del ángulo.
A partir de ahora, tenemos en cuenta que dos vectores no sean perpendiculares tal como lo hemos considerado hasta ahora.
A los vectores los representamos con letras minúsculas y con una pequeña flecha sobre ellas indicando dirección y sentido: 
.
Sus valores escalares o módulos los representamos: 
El valor escalar del vector
Al coseno del ángulo que forman los vectores
lo representamos por 
.Ten en cuenta que
son números reales o escalares. En cambio,
son vectores y los representamos:
El producto escalar de los dos vectores - 
- es:
Como verás, en la fórmula del Trabajo decíamos que:
y lo que hemos hecho aplicar lo anteriormente explicado.
21.20 Calcula el ángulo formado por los vectores 
y 
.
Respuesta: 31º Solución: Tomamos la fórmula: 
y despejamos: 
Recuerda que los módulos 
valen:
Sustituyendo los datos conocidos:
que corresponde a un ángulo de 31°
21.21 Calcula el ángulo formado por los vectores 
y 
.
Respuesta: 22º
21.22 ¿Qué ángulo forman los vectores 
Respuesta: 42º
Solución:
que corresponde a un ángulo de 42°
Hemos estudiado que el producto escalar de dos vectores:
podemos hacerlo 
De donde obtenemos:
También sabemos que podemos calcular el producto de dos vectores conociendo el ángulo que forman dichos vectores:
Calculamos:
Sustituimos los valores hallados en la fórmula (I):
