Producto escalar de dos vectores a partir de la proyección de un vector sobre otro.

Nos fijamos en los dos vectores :

 

vectores

 

Vamos a proyectar el vector sobre el vector vector u pero antes recordemos que:

Proyectar un punto A sobre una recta (r) es trazar una perpendicular desde el punto a la recta. El punto A’ en la recta es la proyección.

La proyección de un segmento sobre una recta es el segmento AB sobre ésta limitada por las proyecciones de los puntos que lo determinan A’B’.

En el caso de que el segmento tuviese un punto en común con la recta (A) tendríamos que proyectar solamente el otro extremo de dicho segmento (B):

Ejemplos:

 

vectores

 

Volvemos al tema.

Proyectamos el vector vectores sobre el vector vectores y lo señalamos con vectores:

 

vectores


 

Si observas en la figura, el
vectores Haciendo operaciones vemos que vectores

Sabemos que vectores y en esta fórmula sustituimos vectores y nos queda:

 

vector

Ahora proyectamos vectores sobre vectores y llamamos vectores a la proyección.
vectores
 

Hallamos el coseno del ángulo vectores

vectores

Haciendo operaciones: vectores

Reemplazando este valor en: vectores

vectores

El producto escalar de dos vectores es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre aquél.

Para saber el valor de una proyección nos basta con despejarla de la fórmula que nos interese:

Tomamos la fórmula vectoresy de ella despejamos el valor de la proyección de vectores sobre vectores, es decir vectores:

vectores

21.23 Halla la proyección del vector vectores sobre el vector vectores. Dibuja.

Respuesta: – 1,25

Solución

Fijamos los puntos.

vectores

 

Comprobamos que tenemos dificultad aparente para trazar la proyección de vectores sobre vectores. Prolongamos la línea del vector vectores y ahora sí encontramos la recta para proyectar vectoressobre vectores.

Aplicamos la fórmula:

vectores
vectores

21.24 Halla la proyección del vector vectores = (-3,-4) sobre el vector vectores= (4,-5). Dibuja.

Respuesta: 1,25

21.25 Tenemos el vectorvectores Calcula el valor de k para que sea vectores (vector unitario).

Respuesta: vectores

Solución

Para que sean unitarios los módulos de ambos

vectores

Elevamos los dos miembros de la igualdad al cuadrado:

vectores

Comprobamos:

vectores sustituimos el valor de k por: vectores

 

vectores

21.26 Tienes el vector vectores. Calcula para que vectores sea igual a 1.

Respuesta: vectores

21.27 ¿Cuánto vale el producto escalar de los vectores vectores ?

Respuesta: 39


21.28 ¿Cuánto vale el ángulo formado por los vectores anteriores?

Respuesta: 3º(aproximadamente)

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