Producto escalar de dos vectores a partir de la proyección de un vector sobre otro.
Nos fijamos en los dos vectores :
Vamos a proyectar el vector sobre el vector 
pero antes recordemos que:
Proyectar un punto A sobre una recta (r) es trazar una perpendicular desde el punto a la recta. El punto A’ en la recta es la proyección.
La proyección de un segmento sobre una recta es el segmento AB sobre ésta limitada por las proyecciones de los puntos que lo determinan A’B’.
En el caso de que el segmento tuviese un punto en común con la recta (A) tendríamos que proyectar solamente el otro extremo de dicho segmento (B):
Ejemplos:
Volvemos al tema.
Proyectamos el vector 
sobre el vector 
y lo señalamos con 
:
Haciendo operaciones vemos que 
Sabemos que 
y en esta fórmula sustituimos 
y nos queda:
sobre 
y llamamos 
a la proyección.
Hallamos el coseno del ángulo 
Haciendo operaciones: 
Reemplazando este valor en: 
El producto escalar de dos vectores es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre aquél.
Para saber el valor de una proyección nos basta con despejarla de la fórmula que nos interese:
Tomamos la fórmula 
y de ella despejamos el valor de la proyección de 
sobre 
, es decir 
:
sobre el vector 
. Dibuja.Respuesta: – 1,25
Solución
Fijamos los puntos.
sobre 
. Prolongamos la línea del vector 
y ahora sí encontramos la recta para proyectar 
sobre 
.Aplicamos la fórmula:
21.24 Halla la proyección del vector 
= (-3,-4) sobre el vector 
= (4,-5). Dibuja.
Respuesta: 1,25
21.25 Tenemos el vector
Calcula el valor de k para que sea 
(vector unitario).
Respuesta: 
Solución
Para que sean unitarios los módulos de ambos
Elevamos los dos miembros de la igualdad al cuadrado:
Comprobamos:
sustituimos el valor de k por: 
21.26 Tienes el vector 
. Calcula para que 
sea igual a 1.
Respuesta: 
21.27 ¿Cuánto vale el producto escalar de los vectores 
?
Respuesta: 39
21.28 ¿Cuánto vale el ángulo formado por los vectores anteriores?
Respuesta: 3º(aproximadamente)
