Producto vectorial de dos vectores referidos a la base canónica.

Lo vamos a hacer como lo estudiado en el producto escalar de dos vectores:

Sean vectores y vectores dos vectores cuyos valores son:

 

vectores

Multiplicamos los vectores:

vectores

Hacemos operaciones:

vectores

Recuerda:

El producto vectorial de dos vectores ortogonales es: vectores
Hemos estudiado que vectores,

es decir, no hay propiedad conmutativa en el producto vectorial.

Hemos de tener en cuenta si el desplazamiento del primer vector sobre el segundo, por el camino más corto, coincide con el sentido contrario al de la marcha de las agujas de un reloj para conocer el signo del vector resultante del producto y este aspecto, posiblemente te lo aclare la figura siguiente:

vectores

 

El producto vectorialvectores erá igual a vectores porque el giro del vector vectores sobre el vectores,

por el camino más corto coincide con el sentido del tirafondo o sacacorchos.

El producto vectorial vectores será igual a vectores porque el giro del vectores sobre el vector vectores,

por el camino más corto coincide con el sentido del tirafondo o sacacorchos.

El producto vectorial vectores será igual a vectores porque el giro del vector vectores sobre el vector vectores,

por el camino más corto, coincide con el sentido del tirafondo o del sacacorchos.

El producto vectorial vectores será igual a vectores porque el giro del vector vectores sobre el vector vectores, por el camino más corto,NO coincide con el sentido del tirafondo o sacacorchos, es opuesto .

El producto vectorial vectores será igual a vectoresporque el giro del vector vectoressobre el vector vectores , por el camino más corto NO coincide con el sentido del tirafondo o sacacorchos, es opuesto.

El producto vectorial vectores será igual a vectores porque el giro del  sobre el vector vectores, por el camino más corto NO coincide con el sentido del tirafondo o sacacorchos.

Podemos preguntarnos ¿cuánto vale vectores o cualquier vector por sí mismo?

Vale 0 porque se trata de vectores iguales con el mismo módulo (si el módulo de uno fuese diferente, no dejarían de ser paralelos), dirección y sentido y el ángulo entre ellos sería 0 y sabemos que el sen 0º = 0

En los recuadros siguientes puedes comprobar las diferencias entre el producto escalar y el producto.

 

vectores

vectores

 

Si estos valores los llevas a:

 

vectores

Eliminando los términos que contengan algún factor elevado al cuadrado nos quedará:


vectores

 

Sustituyendo el producto vectorial de los vectores entre paréntesis con sus correspondientes signos obtenemos:

 

vectores

Ordenamos a los términos con el mismo eje:

 

vectores

 

Sacamos factores comunes a vectores

 

vectores

Sucede que este modo de hacer el cálculo de un producto vectorial, pocos lo utilizan.

Casi siempre se utiliza el determinante siguiente que es fácil de recordar y resolver para llegar exactamente al mismo resultado:

 

vectores


 

Resolvemos el determinante escribiéndolo:
 

vectores

 

Las diagonales principales las tienes en color azul y en rojo las secundarias.

El resultado será:

vectores

Sacando factores comunes:

 

vectores

Coincide con lo obtenido anteriormente:
 

vectores

Ejemplo:

21.53 Calcula el valor del módulo del vector producto vectores, si las componentes de vectoresy las de vectores


Respuesta: vectores

Solución

vectores

 

Otro modo de resolución del producto vectorial de dos vectores.

MENOR COMPLEMENTARIO:

El determinante anterior lo podemos resolver de otro modo:

Hacemos uso del menor complementario de los elementos vectores y vectores

 

vectores

 

Cuidado con el cofactor de vectores que por corresponder al lugar que ocupa, donde el número de fila vale 1 y el número de columna vale 2, la suma de ambos valores es 1 + 2 = 3 que al ser impar, el signo de vectores será negativo.

 

Resolvemos el determinante anterior:

 

vectores


Finalmente nos queda:

 

vectores

 

Sustituimos los valores que conocemos:

 

vectores

 

Resolvemos:

vectores

 

Finalmente obtenemos:

 

vectores

 

Probablemente es éste, el modo de resolución más utilizado.

21.54 Sabiendo que las componentes vectores y las de vectores calcula su producto vectorial o vectores


Respuesta: vectores

21.55 Calcula el producto vectorial de los vectores vectores y vectores. Utilizas el modo de resolución que prefieras.


Respuesta: 8i + 8j + 8k

21.56 Halla el valor del producto vectores sabiendo que vectoresy vectores

Respuesta: 4i + 12 j 8k

21.57 Si cambiamos el orden de los factores anteriores variaría el resultado? Comprueba el resultado.


Respuesta: Sí, ahora los valores son : 4i 12 j + 8k

21.58 Si las componentes de los dos vectores son: vectores y vectores ¿podrías decir su resultado sin hacer uso de fórmula alguna? ¿Por qué?

Respuesta: 0i, 0j, 0k. Porque los vectores son paralelos (las componentes del 2º vector las obtenemos multiplicando por 2 a las del primer vector) y el ángulo al valer 0, el sen 0º = 0º.

21.59 Si las componentes de dos vectores son: vectores y vectores

¿podrías hallar su resultado haciendo uso del producto vectorial?

Respuesta: Nula porque los vectores son proporcionales (el segundo vector es dependiente)

vectores

Resolviendo:

vectores

21.60 Si las componentes de dos vectores son vectores y vectores,

¿podrías decir el valor del ángulo que forman dichos vectores: 1º de memoria y 2º haciendo uso del producto escalar?

Respuesta:

1º Vemos que se tratan de dos vectores cuyas componentes son proporcionales, luego su ángulo vale 0º.

2º Recordamos que el producto escalar de dos vectores lo calculamos del modo siguiente:

vectores

Despejando vectores y sustituyendo valores conocidos:

vectores

Si el vectores es igual a 1, el ángulo que forman los dos vectores vale 0º

21.61 ¿Cuál es el ángulo que forman los vectores vectores y vectores?

Respuesta: 32º aproximadamente.

Solución

Hacemos uso de:

vectores

Ahora tenemos que calcular el valor del ángulo cuyo coseno vale 0,8437 y para ello hacemos uso de la Hoja de Cálculo Excel.

La función ACOS, es la que nos proporciona el resultado.

Recuerda que el Excel trabaja con radianes y queremos pasar a grados por lo que escribiremos en la Hoja de Cálculo:

vectores

Obtenemos 32º como resultado, tomando solamente la parte entera.

 

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