Teorema de la Altura

Antes de estudiarlo, veamos que entendemos por proyección de un segmento sobre una recta.
Se trata de trazar dos rectas perpendiculares a partir de los extremos del segmento sobre la línea. La distancia entre las dos perpendiculares equivale a la proyección del segmento:
 

trigonometria

 

Tenemos unos segmentos de color verde. Desde los extremos de cada segmento trazamos perpendiculares sobre la recta MN, lugar donde queremos obtener el resultado de cada proyección (en color rojo) y de este modo vemos que la proyección de AB sobre la recta MN es A’B’, la proyección de CD sobre MN es C’D’ y la proyección de EF sobre MN es E’F’.

Ahora dibujamos un triángulo rectángulo:

 

trigonometria

 

Los catetos son a y b, la hipotenusa vale c.

El segmento m equivale a la proyección del cateto a sobre la hipotenusa c.

El segmento n equivale a la proyección del cateto b sobre la hipotenusa c.

Al trazar la altura h en el triángulo grande ACB obtenemos dos triángulos rectángulos en su interior en color azul y color naranja.

 

Los triángulos BDC (azul) y CDA (naranja) son semejantes por ser triángulos rectángulos. Esto quiere decir que sus lados son proporcionales.

Del triángulo BDC (azul) tomamos el cateto mayor que es h, su homólogo (el que ocupa su lugar) en el triángulo CDA (naranja) es el segmento n.

El cateto menor del triángulo BDC (azul) es el segmento m y su homólogo en el triángulo CDA (naranja) es h.

Podemos escribir la siguiente proporción:


trigonometria

 

En toda proporción, el producto de extremos ( h y h ) es igual al producto de los medios ( n y m):

trigonometria
 

En todo triángulo rectángulo, la altura es la media proporcional entre los dos segmentos en los que le divide a la hipotenusa.
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