Posiciones Relativas de dos Planos. Rangos

¿Por qué hemos vuelto a estudiar el modo de calcular el rango de una matriz?
Porque podemos saber si dos planos son coincidentes, paralelos o secantes si conocemos el rango de la matriz formada por los coeficientes de las variables y el de la matriz ampliada.

Si el rango de la matriz de coeficientes y el de su ampliada son iguales a 2, los planos se cortan.

Si el rango de la matriz de coeficientes y el de su ampliada son iguales a 1, los planos son coincidentes.

Si el rango de la matriz de coeficientes es igual a 1  y el de su ampliada es igual a 2, los planos son paralelos.

Posiciones Relativas de dos Planos

Posiciones Relativas de dos Planos

 

Resumiendo:
Las ecuaciones de dos planos son:

Posiciones Relativas de dos Planos

Llamando M a la matriz compuesta por los coeficientes y M’ a la ampliada:

Posiciones Relativas de dos Planos

en la tabla siguiente resumimos los casos posibles:

Posiciones Relativas de dos Planos

23.23  ¿Cuál es la posición relativa de los planos:

Posiciones Relativas de dos Planos

 

Respuesta: Secantes

Solución

El rango de coeficientes

Posiciones Relativas de dos Planos

El rango de la ampliada:

Posiciones Relativas de dos Planos

Estos dos planos se cortan.

 

23.24  ¿Cuál es la posición relativa de los planos:

Posiciones Relativas de dos Planos

Respuesta: Paralelos


Solución

El rango de coeficientes

Posiciones Relativas de dos Planos

El rango de la ampliada:

Posiciones Relativas de dos Planos

 

Como:

Posiciones Relativas de dos Planos

Solución

El rango de coeficientes

Posiciones Relativas de dos Planos

El rango de la ampliada:

Posiciones Relativas de dos Planos

23.25  ¿Cuál es la posición relativa de los planos:

Posiciones Relativas de dos Planos

 

Respuesta: Coincidentes.


Solución

Verás que tanto el valor del rango de la matriz formada por los coeficientes como el valor del rango de la ampliada valen 1, lo que significa que son coincidentes. Los datos del 2º plano dependen de los del 1º multiplicados por Posiciones Relativas de dos Planos.

23.25  ¿Cuál es la posición relativa de los planos:

Posiciones Relativas de dos Planos

Respuesta: Paralelos.

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