Ecuación Normal

Consiste en hallar la ecuación del plano conociendo dos datos:  

 1º: Un punto del plano.
                     2º: Un vector perpendicular al mismo.

Ecuación Normal

En la figura tienes en el plano el punto P cuyas coordenadas conocidas son Ecuaci√≥n Normaly un punto donde el vector Ecuaci√≥n Normales perpendicular al plano siendo sus componentes conocidas: (a,b,c).

Siendo Q, un punto cualquiera del plano y sus componentes desconocidas las representamos con Ecuaci√≥n Normal formará con el punto conocido P el vector:

Ecuación Normal

Situamos el vector Ecuaci√≥n Normal perpendicularmente al plano en el punto Q tal como lo tienes en la siguiente figura:

Ecuación Normal

Sabemos por haberlo estudiado en el producto escalar de vectores, que el producto Ecuaci√≥n Normalporque si tenemos que multiplicar los vectores Ecuaci√≥n Normal y Ecuaci√≥n Normal.

Ecuación Normal

el valor que vamos a obtener depende del ángulo que formen dichos vectores, es decir:      

Producto escalar de los vectores: Ecuaci√≥n Normal     

     

Cuanto mayor sea el ángulo, menor será el valor del coseno y por lo tanto, el del producto,  de modo que si el ángulo vale 90º el coseno de α vale cero con lo que el producto escalar de dos vectores perpendiculares es 0.

Todos los puntos del plano cumplirán con Ecuaci√≥n Normal

Así pues, tenemos que multiplicar: Ecuaci√≥n Normalpor Ecuaci√≥n Normal y lo hacemos multiplicando las coordenadas de los dos vectores componente a componente y después sumamos los valores obtenidos:

Ecuación Normal

Haciendo las operaciones indicadas:

Ecuación Normal

Fíjate bien que el vector Ecuaci√≥n Normal cuyas componentes, con  letras mayúsculas Ecuaci√≥n Normal

es normal o perpendicular al plano

Ecuación Normal

y coinciden con los coeficientes de las variables.

23.11  Un plano pasa por el punto Ecuaci√≥n Normal y tiene un vector normal Ecuaci√≥n Normal. Halla su ecuación.

Respuesta: Ecuaci√≥n Normal

Solución
Aplicando directamente la fórmula obtenida:

Ecuación Normal

23.12  Halla la ecuación de un plano que pasa por el punto Ecuaci√≥n Normaly su vector normal tiene como componentes Ecuaci√≥n Normal

Respuesta: Ecuaci√≥n Normal

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