Ecuación Normal

Consiste en hallar la ecuación del plano conociendo dos datos:  

 1º: Un punto del plano.
                     2º: Un vector perpendicular al mismo.

En la figura tienes en el plano el punto P cuyas coordenadas conocidas son y un punto donde el vector es perpendicular al plano siendo sus componentes conocidas: (a,b,c).

Siendo Q, un punto cualquiera del plano y sus componentes desconocidas las representamos con  formará con el punto conocido P el vector:

Situamos el vector  perpendicularmente al plano en el punto Q tal como lo tienes en la siguiente figura:

Sabemos por haberlo estudiado en el producto escalar de vectores, que el producto porque si tenemos que multiplicar los vectores  y .

el valor que vamos a obtener depende del ángulo que formen dichos vectores, es decir:      

Producto escalar de los vectores:      

Cuanto mayor sea el ángulo, menor será el valor del coseno y por lo tanto, el del producto,  de modo que si el ángulo vale 90º el coseno de α vale cero con lo que el producto escalar de dos vectores perpendiculares es 0.

Todos los puntos del plano cumplirán con 

Así pues, tenemos que multiplicar: por  y lo hacemos multiplicando las coordenadas de los dos vectores componente a componente y después sumamos los valores obtenidos:

Haciendo las operaciones indicadas:

Fíjate bien que el vector  cuyas componentes, con  letras mayúsculas 

es normal o perpendicular al plano

y coinciden con los coeficientes de las variables.

23.11  Un plano pasa por el punto  y tiene un vector normal . Halla su ecuación.

Respuesta: 

Solución
Aplicando directamente la fórmula obtenida:

23.12  Halla la ecuación de un plano que pasa por el punto y su vector normal tiene como componentes 

Respuesta: