Operaciones con números complejos en forma binómica

En esta lección veremos como se realizan las operaciones con números complejos en forma binómica.

Suma

Para sumar dos números complejos z1= a+bi y z2=c+di se suman las partes reales y las partes imaginarias respectivamente tal y como se indica a continuación.

z1+z2= (a + bi) + (c+di) = (a+c)+(b+d)i

Ejemplo: Sumar los números complejos z1=2+2i y z2=3+i

z1+z2=2+2i+3+i= (2+3)+(2+1)i= 5+3i

En la figura siguiente se muestra la representación gráfica de la suma de los dos números complejos que se muestran en el presente ejemplo:

ejes cartesianos copia

Ejes cartesianos copia

Resta

Para restar dos números complejos z1= a+bi y z2=c+di se realiza tal y como se indica a continuación.

z1 - z2= (a + bi) - (c+di) = (a-c)+(b-d)i

Ejemplo: Dados los números complejos z1=5-i y z2=1+4i calcular z1-z2

z1-z2 = (5-i) - (1+4i) = 5-1 + (-1-4)i = 4 - 5i

 

Multiplicación

Para multiplicar dos números complejos z1= a+bi y z2=c+di se realiza tal y como se indica a continuación.

z1.z2= (a + bi)  (c+di) = a.c + adi + bci + bdi2 como i2= -1

z1-z2 = (ac-bd) +(ad+bc)i

Ejemplo: multiplicar los números complejos z1= 2 + i  y  z2 = 4+5i

z1.z2 = (2x4-1x5) + (2x5 + 1x4)i = 3 + 14i

También se puede realizar la operación multiplicando cada uno de los términos de a+bi y c+di y simplificando y agrupando sabiendo que i2= -1

Ejemplo: 

(3+2i).(1+i) = 3x1 + 3i +2i +2i2 = (3-2) + (3+2)i = 1 +5i

 

División

Para dividir dos números complejos a + bi y c + di es necesario definir el conjugado de un número complejo en primer lugar.

Si z= a + bi es un número complejo entonces el número complejo conjugado de z es top enclose z equals a minus b i

Así por ejemplo en número complejo conjugado de 1+6i es el número complejo 1-6i.

si queremos dividir dos números complejos a + bi entre c+di multiplicamos y dividimos por el número complejo conjugado de c+di, es decir c-di

z subscript 1 over z subscript 2 equals fraction numerator a plus b i over denominator c plus d i end fraction equals fraction numerator left parenthesis a plus b i right parenthesis left parenthesis c minus d i right parenthesis over denominator left parenthesis c plus d i right parenthesis left parenthesis c minus d i right parenthesis end fraction equals fraction numerator a c plus b d space plus left parenthesis b c minus a d right parenthesis i over denominator c squared plus d squared end fraction equals fraction numerator a c plus b d over denominator c squared plus d squared end fraction plus fraction numerator b c minus a d over denominator c squared plus d squared end fraction i

Ejemplo: Realizar la siguiente división de dos números complejos

fraction numerator 3 plus i over denominator 1 minus i end fraction equals fraction numerator left parenthesis 3 plus i right parenthesis left parenthesis 1 plus i right parenthesis over denominator left parenthesis 1 minus i right parenthesis left parenthesis 1 plus i right parenthesis end fraction equals fraction numerator 3 minus 1 plus 4 i over denominator 2 end fraction equals 1 plus 2 i

 

Potencias de i

Sabemos que i2=-1 así podemos determinar las potencias de i

i to the power of 0 equals 1
i to the power of 1 equals i
i squared equals negative 1
i cubed equals i squared times i space equals negative i
i to the power of 4 equals i squared times i squared equals left parenthesis negative 1 right parenthesis times left parenthesis negative 1 right parenthesis equals 1
i to the power of 5 equals i to the power of 4 times i equals i
i to the power of 6 equals i to the power of 4 times i squared equals negative 1
vertical ellipsis

Se puede observar que los resultados de las potencias de i se repiten de 4 en 4. Para saber el resultado de una potencia de i se divide el exponente entre 4 y el resto equivale a la potencia que se quiere determinar.

Ejemplo: Calcular i57

57/4=14 y resta 1 ya que 14.4=56

entonces i57=i

Ejemplo: calcular i103

103/4=25 y restan 3 

por lo tanto i103=i3=-i

 

 

A continuación se encuentran unos ejercicios de autoevaluación 

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  1. calcula i9
  2. calculaopen parentheses 1 plus i close parentheses fraction numerator 3 minus i over denominator 1 minus i end fraction
  3. calcula (1-i)2
  4. calcula i-29
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