Introducción (de los números naturales a los números complejos)

En primer lugar se expone una breve descripción como fueron apareciendo los diferentes números hasta llegar a los números complejos, desde los números naturales, enteros, racionales e irracionales.

Números naturales

Los primeros números utilizados por el ser humano fueron los números naturales N. Éstos son los números {1,2,3,4,5....}. En este conjunto de números era posible realizar la operación suma, por ejemplo 2+4= 6.

Los números naturales se pueden representar en una recta, en la imagen también se representa el número cero.

números naturales

Representación de números naturales

Números enteros

Sin embargo la resta no era posible realizarla en todos los casos, por ejemplo 2-5 = ??. Entonces surgieron los números enteros Z que incluían los números negativos además de los números naturales N. Esto es {....-3, -2, -1, 0, 1 ,2, 4...}

números enteros

Números enteros

Números Racionales

Con los números enteros era posible realizar las operaciones suma, resta y multiplicación. Pero la división no era posible realizarla en todos los casos, de esta manera aparecieron los números racionales Q, como por ejemplo 1/2, 3/4.... Estos números se pueden expresar como un cociente de dos números enteros.

números fraccionarios

Números racionales

Números Irracionales

Los números que no se pueden expresar como un cociente de dos números enteros se llamaron números irracionales I, estos surgieron al realizar raíces cuadradas, por ejemplo √2 o √5. También son irracionales los números transcedentes, por ejemplo π o e.

números irracionales

Números irracionales y transcendentes

Números reales

Los números reales R contienen a los números racionales Q más los irracionales I (R=Q+I). Si representamos estos números en la recta real, esta se llena con los números racionales e irracionales.

 

Números complejos

Con los números reales no era posible extraer la raíces cuadradas de un número negativo. Así la ecuación x2=-1 no tiene solución en el conjunto de los números reales. Para resolver el problema los matemáticos introdujeron el número imaginario i=√-1.

Así las soluciones a la ecuación x2=-1 son  √-1 y  - √-1 es decir i y -i.

De esta manera se establecieron los números complejos como aquellos que se pueden representar de la forma a + bi donde a y b son dos números reales.

Los números complejos expresados en la forma a+bi se dice que están en forma binómica, también se pueden representar en forma polar (esto se verá más adelante en una lección posterior).

Geométricamente un número complejo se puede representar como un punto o un vector en el plano xy. En el eje x se representa la parte real del número complejo y en el eje y la parte imaginaria. En la siguiente imagen se puede observar la representación de los números complejos.

representacion complejos

representación complejos

Sea un número complejo z= a + bi, entonces

a es la parte real de z y

b la parte imaginaria de z

Si b= 0 entonces el número complejo es un número real y si a = 0 entonces se dice que el número complejo es imaginario puro.

El conjunto de los números complejos se denota C.

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