Los Ángulos en la circunferencia -3

15.153  Calcula las medidas de los arcos que abarcan los lados de un ángulo exterior a una circunferencia de 39º sabiendo que un arco es el triple del otro.

Respuesta: 39º y 117º

Solución:


Si un arco mide xº el otro medirá 3x

 

geo

Haciendo aplicación de la fórmula:

geo

El arco menor mide 39º y el mayor geo

15.154  Dos tangentes a una circunferencia forman un ángulo de 46º ¿Cuánto mide el menor de los arcos que forman en la circunferencia?

Respuesta: 134º

Solución

Al menor de los arcos le damos el valor X
El mayor medirá……………………….360 – X

 

geo

 

Aplicando la fórmula tendremos:         

geo

15.155  Trazamos una secante a una circunferencia y forma un arco de 130º. ¿Cuánto vale el ángulo cuyo vértice está en el punto donde se encuentran la secante y el diámetro de la circunferencia? Dibuja la figura.

Respuesta: 25º 
Solución
En muchos problemas, si dibujamos bien la figura hemos conseguido más de la mitad de su solución. Es importante acompañar, siempre que sea posible,  cada problema con su correspondiente figura.

Comenzamos a trazar la secante a la circunferencia y el arco de 130º:

 

geo

 

Ahora le añadimos la diagonal (ha de pasar por el centro de la circunferencia y se une con uno de los extremos de la secante:

 

geo

 

Si ahora unimos el otro extremo de la secante con el centro y prologamos la línea:

 

geo

 

Compruebo que me queda el triángulo isósceles geo cuyos ángulos los señalo del modo siguiente:

 

geo

 

Como el ángulo central determina un arco igual al que abarcan sus lados conozco de este modo el valor de un ángulo del triángulo (por opuesto por el vértice) y los otros ángulos al ser iguales les doy el valor a cada uno ellos, escribo la ecuación teniendo en cuenta que ka suma de los tres ángulos de un triángulo valen 180º:

 

geo

La figura completa será:

 

geo

 

15.156  Una secante a una circunferencia crea un arco de 86º. ¿Cuánto valen los ángulos inscritos cuyos lados pasan por los extremos de la secante? Dibuja el contenido del texto.

Respuestas: 43º y 137º

Solución:

Trazamos la secante AB a la circunferencia con centro en O

Dibujamos los lados del ángulo inscrito que valdrá la mitad del ángulo central sin importarnos el punto de la circunferencia que elijamos, siempre tendrá el mismo valor mientras nos refiramos al mismo arco.
                        
Piensa que si tomamos los puntos de intersección de la secante a la circunferencia creamos dos arcos.

Estos dos arcos los consideramos a continuación:

 

geo

 

Los vértices en DE y valen lo mismo porque se refieren al mismo ángulo inscrito. 

Todos ellos valen la mitad del central y éste equivale al arco que abarcan sus lados.

Otra solución:

Otra respuesta la podemos obtener si elegimos al arco mayor como correspondiente al ángulo central:

 

geo

 

En este caso el ángulo central abarca un arco geo de 274º lo que quiere decir que el inscrito en el punto C de la circunferencia vale la mitad, es decir, 137º.

15.157    Unimos por medio de una recta dos puntos A y C de una circunferencia y creamos un arco de 130º48’4’’. Por ambos puntos trazamos desde el punto exterior B a la circunferencia dos tangentes. ¿Cuánto valen los ángulos cuyos vértices se hallan en A, B y C?

Respuestas:geo

Solución:
Los arcos en los que la cuerda AC ha dividido a la circunferencia miden 130º48’4” y 229º11’56”.

El ángulo geo

geo

 

Los ángulos geo y geo son iguales porque el triángulo geoes isósceles. Si damos el valor de x a cada uno de ellos, podemos  escribir la ecuación: 

 

geo

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