Los Ángulos en la circunferencia - 2

15.146  ¿Cuánto vale el ángulo cuyo vértice señalamos con X?. Razona la respuesta:

 

geometria

 

Respuesta: X=70º30’. Se trata de un ángulo inscrito y vale la mitad del arco que abarcan sus lados, es decir, la mitad del ángulo central.

15.147 ¿Qué valor tiene X en la figura siguiente? Razónala.

 

geometria

 

Respuesta: X=31º. Mismo razonamiento del problema anterior.

15.148   Halla el valor de X en la figura siguiente:


geometria

 

Respuesta: X=62º por ser ángulo central y tener el doble del valor del ángulo inscrito cuyos lados abarcan el mismo arco.

15.149 ¿Cuántos grados vale el ángulo X?

 

geometria

 

Respuesta: X=135º
Solución:

El ángulo geometria es inscrito y sus lados abarcan el arco geometria que corresponde al ángulo central de 270º, luego X valdrá la mitad del ángulo central, es decir, geometria

 

15.150 ¿Cuánto vale el ángulo X de la figura siguiente y cuál la longitud del arco que abarcan sus lados?

geometria

Respuesta: X= 136º30’: longitud del arco geometria

4) Ángulo interior: Un ángulo interior es el que tiene su vértice en un punto interior cualquiera de la circunferencia y sus lados son secantes a ella:

 

geo

El ángulo geo es un ángulo interior del que a continuación vamos a deducir el valor del arco que abarcan sus lados..

En primer lugar prolongamos los lados geo y geo :

geo

 

Ahora unimos los puntos A y D:

geo

Si te fijas bien, el ángulo geo es un ángulo inscrito y vale la mitad del central geola longitud del arco que le corresponde es geo:

 

geo

Ves que el ángulo geovale 73º, es decir, la mitad del ángulo central que mide 146º, abarcando los lados de ambos ángulos el mismo arco.

Podemos decir que geo

El ángulo geo también es un ángulo inscrito y le corresponderá el arco geo

Escribiremos la igualdad geo

En el triángulo geo el ángulo en geometria verás que es un ángulo exterior, por lo tantovale la suma de los interiores no adyacentes a él:

geometria

Lo representamos en la figura siguiente:

 

geo

 

Puedes comprobar que los ángulos interiores con vértices en geo y en geo suman los mismos grados que el exterior en geo:

geometria

La igualdad geometria puedo escribirla según todo lo que acabamos de estudiar:

geometria

La medida de un ángulo interior a una circunferencia es igual a la semisuma de las medidas de los arcos que abarcan los lados y las prolongaciones de éstos.

 

geometria

 

15.151  ¿Cuánto vale un ángulo interior a una circunferencia si los arcos abarcados por sus lados y sus prolongaciones miden 81º y 33º? Dibuja.

Respuesta: 57º
Solución:

El arco geometria mide 81º y el arco geometria 33º la semisuma de ambos vale 57º tal como te indica el ángulo geometria

Observa en la figura las medidas de los ángulos centrales (en color magenta) geometria tienen las mismas medidas que sus respectivos arcos.

  15.152  Un ángulo interior a una circunferencia mide 42º y uno de sus arcos 54º   ¿Cuánto medirá el otro arco?

geometria

Respuesta: 30º

5) Ángulo exterior: Un ángulo exterior es el que tiene su vértice en un punto exterior a la circunferencia y sus lados respecto a ésta pueden ser secantes, tangentes, o un lado secante y el otro tangente.

Vamos a estudiar los tres casos:

1º Los lados son secantes:

 

geo

 

El ángulo geo que en la figura vale 20º es un ángulo interior del triángulo geo y el ángulo geoque vale 17º es el otro ángulo interior no adyacente al exterior que vale 37º.

Sabemos que el valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes: geo

Sabemos que el ángulo geo es un ángulo inscrito y la medida del arco que abarcan sus lados es geo.

Lo mismo sucede con el ángulo geoque es un ángulo inscrito y la medida del arco es igual geo.

Ahora se trata de saber la medida de arcos que corresponde al ángulo exterior geo.

Vemos que geo

Nos interesa despejar geo

Donde geo

Sustituyendo por las medidas de los arcos conocidos obtengo:

geo

El valor de un ángulo exterior es igual a la semidiferencia de los arcos que abarcan sus lados.

2º Los lados son tangentes:

geo

El razonamiento es igual al caso anterior. El ángulo geo es exterior del triángulo geoque equivale a la suma de los dos interiores no adyacentes:

geo

El ángulo geo es un ángulo semi-inscrito lo mismo que geo y las medidas de los arcos que abarcan sus lados son georespectivamente.

Los ángulos geo y geo son iguales, podemos escribir:

geo

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual al exterior no adyacente a ninguno de ellos.

Despejando el valor de geo

Sustituyendo los valores de geo y geo por los arcos que abarcan sus lados llegamos: geo

Como ves, estamos en el mismo caso como el estudiado cuando los lados eran secantes.

3º Los lados son uno tangente y el otro secante:

geo

En esta figura ves lo mismo de lo que hemos estudiado en el caso anterior. La suma de los ángulos interiores del triángulo geo que suman 147º + 32º = 147º es igual al exterior no adyacente a ninguno de los otros dos.
Siguiendo lo explicado en casos anteriores vemos que:

geo

En los tres casos, el valor del ángulo exterior a una circunferencia  es igual a la semidiferencia de los arcos que abarcan sus lados.

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