Empréstitos: cupón cero
En algunos tipos de empréstitos se realiza un único pago de intereses en el momento de amortización de los títulos. Estas emisiones se denominan de "cupón cero".
Dentro de esta categoría se distinguen diversas variantes, destacando:
a) Cuotas periódicas constantes
b) Amortización del mismo número de títulos en cada periodo
Cuotas periódicas constantes
El esquema es similar al de los empréstitos con pago de intereses periódicos y cuota constante. La diferencia está en que en aquel modelo, la cuota periódica incluía intereses sobre el saldo vivo, mientras que ahora (cupón cero) sólo incluye los intereses acumulados de los títulos que se amortizan en ese periodo.
A efectos de simplificar, consideraremos que el tipo de interés es constante durante toda la vida del empréstito.
La cuota periódica se calcula:
Co = M * Ao |
Siendo Co el importe inicial del empréstito |
Siendo M el importe de la cuota periódica |
Siendo Ao el valor actual de una renta constante, pospagable |
De aquí se despeja M.
Para calcular el número de títulos que se amortiza en cada periodo, empezamos por conocer los del primer periodo:
M = (A1 * Vn) + (1 + i) |
Siendo A1 el número de títulos amortizados en el primer periodo |
Siendo Vn el valor nominal de cada título |
Los títulos que se amortizan en periodos sucesivos se calculan con la siguiente fórmula:
As = A1 * (1 + i)^-(s-1) |
Siendo As el número de títulos que se amortiza en el periodo s |
La parte de la cuota periódica que corresponde a intereses de los títulos amortizados se calcula fácilmente:
Is = Ms - (A1 * Vn) |
Siendo Is los intereses que se pagan en ese periodo |
Conociendo este dato, ya se puede completar el cuadro de amortización.
Veamos un ejemplo:
Se emiten obligaciones por 50.000 millones de ptas. (1.000.000 de títulos, con un valor nominal de 50.000 ptas. cada uno). La duración es de 5 años y tipo de interés constante del 6%. Las cuotas anuales son constantes y los interese se pagan en el momento de amortización de cada título.
Calcular el cuadro de amortizaciones:
La cuota periódica se calcula:
Co = M * Ao |
Luego, Co = M * ((1 - (1 + i)^-n) / i) |
Luego, 50.000 = M * 4,2123 |
Luego, M = 11.869,82 millones ptas. |
A continuación se calcula el número de títulos que se amortiza en el primer periodo:
M = (A1 * Vn) * (1 + i) |
Luego, 11.869,82 = (A1 * 0,05) + (1 + 0,06) (el valor nominal del título está expresado en millones de ptas.) |
Luego, A1 = 223.959 títulos |
Ya se puede calcular el resto del calendario de amortización:
A2 | 223.959 * (1 + 0,06)^-1 | 211.282 títulos |
A3 | 223.959 * (1 + 0,06)^-2 | 199.323 títulos |
A4 | 223.959 * (1 + 0,06)^-3 | 188.040 títulos |
A5 | 223.959 * (1 + 0,06)^-4 | 177.396 títulos |
Y se puede completar el cuadro de amortizaciones:
N° de títulos | Cuota periódica | Saldo vivo del empréstito | |||||
Periodo | Vivos | Amortizados en periodo | Amortiz. acumulados | Amortiz. de capital | Intereses | Cuota periódica | |
(Millones ptas.) | (Millones ptas.) | (Millones ptas.) | (Millones ptas.) | ||||
año 0 | 1.000.000 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 50.000 |
año 1 | 776.041 | 223.959 | 223.959 | 11.197,9 | 671,9 | 11.869,8 | 38.802,1 |
año 2 | 564.759 | 211.282 | 435.241 | 10.564,1 | 1.305.7 | 11.869,8 | 28.238,0 |
año 3 | 365.436 | 199.323 | 634.564 | 9.966,1 | 1.903,6 | 11.869,8 | 18.271,9 |
año 4 | 177.396 | 188.040 | 822.604 | 9.402,0 | 2.467,8 | 11.869,8 | 8.869,8 |
año 5 | 0 | 177.396 | 1.000.000 | 8.869,8 | 3.000,0 | 11.869,8 | 0 |
