Factorizar Polinomios cuyo grado sea mayor que 2, incluidos los de grado impar

Lo estudiado hasta ahora no nos permite factorizar los polinomios cuyo grado sea mayor que dos e incluya los grados impares. Para conseguirlo, hemos de aplicar la regla de RUFFINI.
Ruffini cuyo nombre era Paolo nació en Roma el año 1765.

Estudió matemáticas, medicina y literatura-filosofía.

A él debemos un modo sencillo de poder factorizar o calcular las raíces de polinomios.Los polinomios han de estar ordenados respecto a la variable en orden decreciente.
(¿Has observado que estás estudiando, en este momento, algo que se comenzó a estudiar hace más de dos siglos?)


HALLAR LAS RAÍCES DE UN POLINOMIO:
Comenzamos a estudiar la regla de Ruffini.

Es muy fácil utilizar la regla de Ruffini y para ello debes tener en cuenta los pasos siguientes que vamos a aplicar en el polinomio ORDENADO:

RAÍCES DE UN POLINOMIO

1) Escribe horizontalmente los coeficientes de los términos del polinomio con sus signos (los signos + no los escribimos):
                                  1        6       11       6

2) Vemos cuales son los divisores del último término (6):
     Los divisores de 6 son: 1, RAÍCES DE UN POLINOMIO


3) Comprobamos cuales de estos divisores son válidos y para ello escribimos debajo del paso 1:

RAÍCES DE UN POLINOMIO

Trazas una línea vertical por delante del primer coeficiente y en la línea siguiente, a la izquierda de esta línea vertical, un divisor del último término del polinomio.
Por debajo de este divisor trazas una recta horizontal de la anchura ocupada (más o menos) por los coeficientes del polinomio.


4) Debajo de la raya horizontal y debajo del primer coeficiente escribes el mismo coeficiente:

RAÍCES DE UN POLINOMIO

 

5) Ahora multiplicas el primer divisor que estás probando (el 1ª la izquierda de la raya vertical) por el primer coeficiente del polinomio (el 1 que lo tienes debajo de la raya horizontal) y el resultado del producto lo colocas debajo del segundo coeficiente (el 6):

RAÍCES DE UN POLINOMIO

Sumas 6 + 1 y el resultado lo colocas debajo de la línea horizontal y a la altura del segundo coeficiente:

RAÍCES DE UN POLINOMIO

6) Vuelves a multiplicar la raíz que probamos (1 a la izquierda de la raya vertical) por el resultado obtenido (7 debajo de la raya horizontal) y el resultado (1 x 7 = 7 ), lo colocamos bajo el tercer coeficiente (11) del polinomio y los sumamos:

RAÍCES DE UN POLINOMIO

7) Multiplicas, como en los pasos anteriores, el divisor que probamos (1) por el último número calculado (18) y  colocamos el resultado del producto (1 x 18 = 18 ) debajo del tercer coeficiente del polinomio (6) y los sumamos: (6+18=24):

RAÍCES DE UN POLINOMIO

 

Nos ha dado como último resultado de la suma: 24.
El divisor 1 que acabamos de probar no nos vale porque la última suma es 24 y para que fuese raíz o respuesta nos tendría que dar CERO.

Como el divisor 1 no es válido (no nos da cero al final) probamos con otro divisor de 6 que es -1 (procura ir probando ordenadamente) y repetimos esta vez con  -1 todos los pasos anteriores (no olvides que menos por más es igual a menos):

RAÍCES DE UN POLINOMIO

 

Esta vez compruebo que obtengo al final un cero, lo que significa que el divisor probado es una raíz.


Es lógico que el 1 no valga ya que si todos los términos son positivos al final es imposible de obtener un cero.

Todos los nuevos coeficientes que he obtenido debajo de la raya horizontal son positivos, tomo otro divisor de 6 que sea negativo después de -1 que es el -2 haciendo las mismas operaciones que las anteriores:

RAÍCES DE UN POLINOMIO

 

Podemos terminar probando con el siguiente divisor negativo que es -3:

RAÍCES DE UN POLINOMIO

En este momento, he terminado. He calculado los divisores -1, -2 y -3 son raíces o respuestas del polinomio:   RAÍCES DE UN POLINOMIO


Puedes comprobar que al sustituir a x por -1, -2 y -3 obtienes como resultado el cero. Esto quiere decir que los valores -1, -2 y -3 son las 3 respuestas del polinomio de tercer grado ya que cumplen con las condiciones de la ecuación.

13.70 Calcula las raíces de: RAÍCES DE UN POLINOMIO

Respuestas: -1, 2 y -3.

Solución:
Los posibles divisores serían: 1, -1, 2, -2, 3 y -3.

Colocamos los coeficientes y vamos probando con los divisores: -1, 2 y -3.

RAÍCES DE UN POLINOMIO

13.71 Calcula las raíces de: RAÍCES DE UN POLINOMIO

Respuestas: 1, -2, -3 y -4.

Solución:

Las respuestas posibles son divisores de 24. Comenzamos con 1, después con -1, 2 y -2,3 y -3, etc.

RAÍCES DE UN POLINOMIO

 

13.72 Calcula las raíces de: RAÍCES DE UN POLINOMIO

Respuestas: 1, 2, 3 y 4.

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