Simetría Axial, Homotecia

La palabra axial viene de la palabra latina “axis” que significa eje y simetría axial significa simetría respecto de un eje, por ejemplo, en F.4 (a) tenemos el punto A y su homólogo A’ de modo que si doblaras un papel que contiene esta figura por el eje de simetría, los puntos A y A’ coincidirían:

coordenadas

 

La recta (en color verde) que pasa por los puntos A y A’ es perpendicular al eje de simetría y dichos puntos equidistan del eje. 

Aplicamos el eje de simetría a un triángulo:

coordenadas

Comprobarás que ambas figuras son equidistantes respecto al eje de simetría y que si doblaras un papel que contuviese la F.5 por el eje de simetría, ambas figuras coincidirían.  

Aplicamos el eje de simetría para realizar una figura que incluya varias líneas tal como puedes ver en F.6 (a)

Coordenadas

 

Primero dibujamos la mitad de la figura, no hace falta dibujarla toda.

Luego trazamos el eje de simetría tal como tienes en la F.6 (b) con la figura simétrica a F.6 (a).

 

Coordenadas

Puedes ver que hay una distancia entre ambas. Equidistan del eje de simetría F.6 (b).

Si anulamos la distancia entre ambas figuras homólogas, obtendremos la figura completa F.6 (c)

Coordenadas

 

HOMOTECIA.

Se llama homotecia a la transformación geométrica que sufre una figura. A partir de un determinado punto, todas las medidas quedan multiplicadas por un mismo factor distinto de cero.

En la figura F.7 tienes unos ejes de coordenadas. El triángulo ABC tiene sus vértices en los puntos A(– 2,3), B(4,2) y C(1,2).

Multiplicamos a las coordenadas de cada punto por el factor 2 cuyos valores se transforman en: A’(– 4,6), B’(8,4) y C’(2,4).

Coordenadas

El centro de homotecia la hemos situado en O que corresponde a (0,0) del eje de coordenadas.

En F.8 los valores de los puntos de los vértices del triángulo ABC son A(3,0), B(4,1) y C(2,4).

El factor es 2 por lo que los vértices del triángulo A’B’C’ serán:(6,0), (8,2) y (4,8) respectivamente.

Coordenadas

Al unir los vértices de figuras homotéticas con rectas, éstas se juntan en un punto llamado centro de homotecia (en los ejemplos anteriores y los próximos quedan señalados con la letra O).

En la homotecia tenemos en cuenta la figura original y la homotética, ambas tendrán la misma forma pero sus tamaños serán diferentes dependiendo del factor o razón de homotecia (generalmente se le representa con la consonante k) si es mayor o menor que la unidad.

Coordenadas

En la figura 9 vemos que no ha habido ninguna modificación de tamaño ya que estamos tratando un punto (A) pero sí tenemos una modificación de distancia Coordenadas

En este ejemplo A’ es homólogo de A.

Si el factor k es menor que la unidad tal como lo tienes en F.10, el punto A’ queda situado entre el origen O y el punto A. La distancia OA’ vale Coordenadas  de la distancia OA Coordenadas Coordenadas

Coordenadas

Lo mismo sucede con las figuras homotéticas cuando k es menor que la unidad.

En la F. 11 ves que el triángulo A’B’C’ queda entre el centro de la homotecia O y el triángulo ABC.

Coordenadas

 

¿Qué sucede cuando k<0?
En este caso nos referimos a que el valor del factor sea negativo.

Nos fijamos en la figura 12.

Coordenadas

Tenemos un eje de coordenadas. Las coordenadas del punto A son (1,7), B(2,5) y C(– 2,3).

La razón de homotecia o k = – 2.

Las coordenadas de A’ son (4, –6), B’(–4, –10) y C’(–4, –14).

Al unir con líneas discontinuas (en rojo) AA’, BB’ y CC’vemos el centro de homotecia O y lo que es másimportante, se produce una figura mayor e inversa.
 

El triángulo A’B’C’ es mayor e inverso respecto del triángulo ABC.

 

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