Potencia de un punto respecto de una circunferencia

En la siguiente figura ves dos rectas y s cuyo origen es P y son secantes a la circunferencia en A y B, y A’ yB’ respectivamente.

matemáticas conicas

 

En geometría elemental estudiamos que el producto de las distancias conicas y conicas son iguales porque los ángulos en B y B’ por abarcar el mismo arco (en color rojo) y ser el ángulo  común  en los triángulos conicas y conicas tal como lo vemos en la siguiente figura:

matemáticas conicas

Si el punto P es interior a la circunferencia:

conicas

Los productos: matemáticas conicas y matemáticas conicas son iguales en valores absolutos, porque si el sentido matemáticas conicasconsideramos positivo, matemáticas conicas será negativo y el producto también será negativo.

Si el punto es exterior a la circunferencia el resultado es positivo y si el punto es interior el resultado será negativo.

Puede darse el caso de que el punto corresponda a la circunferencia en este caso, el resultado será 0 como lo veremos más adelante.

La potencia del punto P se escribe, entre otras formas:  

matemáticas conicas

Ecuación analítica de la potencia de un punto respecto de una circunferencia
En la figura siguiente ves una circunferencia situada en el primer cuadrante de un eje de coordenadas con centro en C(a,b).

 

 matemáticas conicas

La matemáticas conicas podemos escribirla en función de los valores de la distancia del punto matemáticas conicas al centro matemáticas conicas y del radio r de la circunferencia:

matemáticas conicas

En el triángulo rectángulo, con fondo morado, ves que es la hipotenusa cuyos catetos corresponden a matemáticas conicas y matemáticas conicasrespectivamente lo que nos permite escribir, siguiendo el teorema de Pitágoras:     

   matemáticas conicas

Este valor lo sustituimos en (I):

matemáticas conicas

Tomando la ecuación de la circunferencia, comprobamos que para calcular la potencia de un punto respecto de una circunferencia, basta con sustituir las coordenadas del punto en su ecuación.

Observación:

Cuando el punto que consideramos pertenece a la circunferencia, matemáticas conicas

 

26.5 Halla la potencia de un punto situado en (10,1) respecto a la circunferencia:

matemáticas conicas

 

Respuesta: 87


Solución: 
Sustituyes los valores de y, en la ecuación de la circunferencia por 10 y 1 respectivamente:

matemáticas conicas

 

26.6 ¿Qué posición ocupan los puntos A(1,2) y B( 3,5) respecto a la circunferencia

matemáticas conicas

 

Respuesta: El 1º es un punto de la circunferencia
                    El 2º es un punto exterior a la circunferencia

Solución:
En ambos casos sustituimos valores:

1 )1+ 4 – 2 + 2 – 5 = 0 que significa que A(1,2) es un punto de la circunferencia.

2)  9 + 25 – 6 + 5 – 5 = 18 que significa que el punto es exterior a la circunferencia.

             

26.7 El punto A(10,1) ¿está en el interior de la circunferencia: matemáticas conicas?

Razona tu respuesta. 

Respuesta: Sí, porque al sustituir valores, el resultado es negativo.

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