Hipérbola III

Ecuación de la hipérbola vertical con centro en el origen de coordenadas

Hasta ahora hemos considerado eje principal de la hipérbola el paralelo al eje de abscisas.
En el caso de una hipérbola vertical con origen en el punto (0,0), su eje principal es el de ordenadas:

matemáticas conicas

El centro de la hipérbola lo tenemos en el punto (0,0).
Los focos están situados en los puntos (0,5) y (0,-5).
Los vértices se encuentran en (0,4) y (0,-4).

Dado que los valores de  e y se han intercambiado, la ecuación de la hipérbola  será:

matemáticas conicas

Si quieres obtener este resultado de un modo paso a paso, puedes comenzar en:

matemáticas conicas de la demostración anterior.

Lo que tienes que hacer es cambiar por y debido al giro de la figura:

A partir de aquí haces los cálculos del modo anterior y llegarás a la misma ecuación últimamente señalada.

Puedes servirte también cuanto a este tema nos referimos en la elipse teniendo en cuenta matemáticas conicas

 

Ecuación de la hipérbola vertical con centro fuera del origen de coordenadas
Si el centro de la hipérbola estuviese situado en el punto matemáticas conicas la ecuación es:

matemáticas conicas

 

26.25  Sabemos que la medida del eje focal de una hipérbola mide 6 y la distancia entre los focos 10, ¿cuál es su ecuación?

Respuesta: matemáticas conicas

Solución

Necesitamos conocer y b

matemáticas conicas

La ecuación seráconicas

 

26.26  Si la ecuación de una hipérbola es conicas escríbela en forma reducida o canónica.

Respuesta: conicas

 

26.27  Escribe la ecuación de una hipérbola de la que sabemos que su centro está en el origen de coordenadas,  F(0,10) y A(0,6).

Respuestaconicas

Solución 
Vemos que el eje principal es vertical.

conicas

 

26.28  Si te dicen que la ecuación reducida o canónica de una hipérbola es:

conicas

¿Cuáles son las coordenadas de los focos y vértices?

Respuestaconicas

 

Excentricidad de la hipérbola
Hemos hecho referencia varias veces a la distancia focal y distancia entre vértices 2c y 2a ésta la menor de las dos, se llama excentricidad de la hipérbola al cociente entre ambas:

conicas

La excentricidad nos indica la abertura de las ramas de la hipérbola. A mayor excentricidad, mayor abertura.

La excentricidad de una hipérbola se mantiene con valor superior a 1, es decir, conicas

En la figura siguiente tienes las aberturas de las ramas de la hipérbola según sea el valor de la excentricidad.
Observa que las coordenadas de los vértices son iguales para cada una de las hipérbolas.                                               

conicas

A medida que el valor de c aumenta, las ramas de la hipérbola tienden a hacerse más perpendiculares respecto al eje principal.


26,29  Calcula ecuación reducida o canónica, los vértices, los focos y la excentricidad de una hipérbola cuya ecuación general es: 

conicas

Respuestas: ecuaciónconicas

                    Vértices : conicas

Focosconicas

excentricidad: 1.05

Solución

La ecuación: podemos escribirla:

conicas

conicas

Haciendo operaciones y ordenando:

conicas

Reducimos términos semejantes:

conicas

Dividimos todos los términos por 9:

conicas

Observamos que el centro de esta hipérbola se halla en el punto (3,-2).
                                    

Los valores de ab y c son:

conicas

En la primera figura de las dos que tienes debajo y con los ejes de coordenadas cuyas líneas hechas con puntos fijamos el centro.

conicas

En la figura de la derecha con los ejes color blanco y línea continua, tienes el eje de coordenadas en el origen conicas

En esta figura compruebas que los puntos que representan los vértices de la hipérbola, corresponden en el eje de las coordenadas en el origen, a los puntos (en azul):

conicas y los focos (en rojo): conicas

La excentricidad vale : conicas

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