Hipérbola II

Elementos de una hipérbola
Hasta ahora hemos visto los focos y los vértices.

matem√°ticas conicas

Se llama eje focal la recta donde están situados los focos. También podemos considerarlo como eje principal.

Eje secundario es la mediatriz del eje focal OB.

Radios vectores de un punto de la hipérbola son los segmentos PF y PF’ (siendo P el punto de la hipérbola vistos en figura anterior).

Asíntotas son las dos rectas, en color morado, que pasan por el centro de la hipérbola cuyas ramas se aproximan cada vez más sin llegar a tocarse.

Al ser unas rectas podemos calcular sus ecuaciones utilizando la forma de punto pendiente: matem√°ticas conicas

Como pasan por el origen y la pendiente podemos representar por la tangente, las fórmulas de las asíntotaspodemos escribirlas teniendo en cuenta que en el segundo cuadrante el coseno es negativo:

matem√°ticas conicas

 

Relación entre los semiejes de la hipérbola

De la última figura es fácil deducir, por el teorema de Pitágoras, que:

matem√°ticas conicas

 

Ecuación de la hipérbola con centro en el origen de coordenadas
Hemos estudiado que la diferencia de distancias de cualquier punto de una a cada uno de sus focos equivale a2a.
Esto quiere decir que:

matem√°ticas conicas

Lo podemos comprobar en la figura siguiente:

hiperbola

De la última igualdad vamos a obtener la fórmula de la hipérbola y para ello pasamos el sustraendo a la derecha del signo (=):

matem√°ticas conicas

Elevamos ambos miembros al cuadrado:

matem√°ticas conicas

Después de reducir términos semejantes matem√°ticas conicas elevamos al cuadrado lo encerrado entre paréntesis excepto el radicando:

matem√°ticas conicas

Reduciendo términos semejantes nos queda:

matem√°ticas conicas simplificamos por 4 y llegamos a             

matem√°ticas conicas

Elevamos ambos miembros al cuadrado después de dejar al término con la raíz cuadrada a la derecha del (=):

matem√°ticas conicas

Haciendo operaciones:

matem√°ticas conicas

Quitando el paréntesis:

matem√°ticas conicas

Reducimos términos semejantes y hacemos operaciones:

matem√°ticas conicas

Dejamos a la izquierda del (=) a los términos que contienen incógnitas y sacamos factores comunes:

matem√°ticas conicas

Sabemos que  matem√°ticas conicas por lo tanto, la igualdad anterior podemos escribirla:

matem√°ticas conicas

Dividimos cada término por  matem√°ticas conicas y simplificando llegamos a la ecuación canónica o reducida de la hipérbola:

matem√°ticas conicas

 

Ecuación de la hipérbola con centro fuera del origen de coordenadas

Si el centro lo tuviésemos en el punto coordenadas la ecuación sería, teniendo en cuenta lo estudiado hasta ahora:

matem√°ticas conicas

 

Ecuación general de la hipérbola
Aprovechando cuanto hicimos cuando tratamos la ecuación general de la elipse tendremos:

matem√°ticas conicas

Haciendo operaciones tenemos:

matem√°ticas conicas

Ordenamos:

matem√°ticas conicas

Damos los valores siguientes a:

matem√°ticas conicas

Sustituyendo en (I) obtenemos:

matem√°ticas conicas

que es la ecuación general de la hipérbola..

Los coeficientes de matem√°ticas conicas  e matem√°ticas conicas tienen signos opuestos mientras que en la elipse tienen el mismo.

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