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martes, 21 agosto 2018 español
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Hipérbola II

Elementos de una hipérbola
Hasta ahora hemos visto los focos y los vértices.

matemáticas conicas

Se llama eje focal la recta donde están situados los focos. También podemos considerarlo como eje principal.

Eje secundario es la mediatriz del eje focal OB.

Radios vectores de un punto de la hipérbola son los segmentos PF y PF’ (siendo P el punto de la hipérbola vistos en figura anterior).

Asíntotas son las dos rectas, en color morado, que pasan por el centro de la hipérbola cuyas ramas se aproximan cada vez más sin llegar a tocarse.

Al ser unas rectas podemos calcular sus ecuaciones utilizando la forma de punto pendiente: matemáticas conicas

Como pasan por el origen y la pendiente podemos representar por la tangente, las fórmulas de las asíntotaspodemos escribirlas teniendo en cuenta que en el segundo cuadrante el coseno es negativo:

matemáticas conicas

 

Relación entre los semiejes de la hipérbola

De la última figura es fácil deducir, por el teorema de Pitágoras, que:

matemáticas conicas

 

Ecuación de la hipérbola con centro en el origen de coordenadas
Hemos estudiado que la diferencia de distancias de cualquier punto de una a cada uno de sus focos equivale a2a.
Esto quiere decir que:

matemáticas conicas

Lo podemos comprobar en la figura siguiente:

hiperbola

De la última igualdad vamos a obtener la fórmula de la hipérbola y para ello pasamos el sustraendo a la derecha del signo (=):

matemáticas conicas

Elevamos ambos miembros al cuadrado:

matemáticas conicas

Después de reducir términos semejantes matemáticas conicas elevamos al cuadrado lo encerrado entre paréntesis excepto el radicando:

matemáticas conicas

Reduciendo términos semejantes nos queda:

matemáticas conicas simplificamos por 4 y llegamos a             

matemáticas conicas

Elevamos ambos miembros al cuadrado después de dejar al término con la raíz cuadrada a la derecha del (=):

matemáticas conicas

Haciendo operaciones:

matemáticas conicas

Quitando el paréntesis:

matemáticas conicas

Reducimos términos semejantes y hacemos operaciones:

matemáticas conicas

Dejamos a la izquierda del (=) a los términos que contienen incógnitas y sacamos factores comunes:

matemáticas conicas

Sabemos que  matemáticas conicas por lo tanto, la igualdad anterior podemos escribirla:

matemáticas conicas

Dividimos cada término por  matemáticas conicas y simplificando llegamos a la ecuación canónica o reducida de la hipérbola:

matemáticas conicas

 

Ecuación de la hipérbola con centro fuera del origen de coordenadas

Si el centro lo tuviésemos en el punto coordenadas la ecuación sería, teniendo en cuenta lo estudiado hasta ahora:

matemáticas conicas

 

Ecuación general de la hipérbola
Aprovechando cuanto hicimos cuando tratamos la ecuación general de la elipse tendremos:

matemáticas conicas

Haciendo operaciones tenemos:

matemáticas conicas

Ordenamos:

matemáticas conicas

Damos los valores siguientes a:

matemáticas conicas

Sustituyendo en (I) obtenemos:

matemáticas conicas

que es la ecuación general de la hipérbola..

Los coeficientes de matemáticas conicas  e matemáticas conicas tienen signos opuestos mientras que en la elipse tienen el mismo.

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