Hipérbola equilátera

Una hipérbola es equilátera cuando los semiejes  b son iguales:

matemáticas conicas

Esto quiere decir:  a = b.
Si observas las asíntotas, verás que se tratan de las bisectrices (dividen un ángulo en dos partes iguales).

 

Ecuación reducida de la hipérbola equilátera

Te basta con hacer uso de la forma reducida: matemáticas conicas

Como y b son iguales, podemos escribir: matemáticas conicas

Haciendo operaciones llegamos: matemáticas conicas

 

Ecuaciones de las asíntotas de una hipérbola equilátera

Dado que las asíntotas son bisectrices, los valores de x e y son iguales, por lo tanto, matemáticas conicas son las ecuaciones de las asíntotas. El doble signo se debe al cuadrante donde está situada.

 

Ecuación de la hipérbola cuando las asíntotas son los ejes de coordenadas
Para que las asíntotas se conviertan en ejes de la hipérbola equilátera, es suficiente girar 45º:

matemáticas conicas

Un punto cualquiera de la hipérbola puede estar situado en el vértice, como puedes apreciar en la figura.

Sabemos por lo estudiado hasta aquí que:

matemáticas conicas

La distancia matemáticas conicas

Sustituimos valores en esta última igualdad:

matemáticas conicas

Haciendo operaciones:

matemáticas conicas

Desarrollamos los productos notables:

matemáticas conicas

Reducimos términos semejantes:

matemáticas conicas

Simplificamos por  4a:

matemáticas conicas

Elevamos ambos miembros al cuadrado y reducimos términos semejantes:

matemáticas conicas

Como puedes comprobar, la ecuación de la hipérbola equilátera, con relación a las asíntotas es:  

matemáticas conicas

Podemos simplificar y nos quedará:

matemáticas conicas

representa un valor real conocido.

 

26.30  ¿Puedes decir si xy = 1 representa a la ecuación de alguna de las cónicas que has estudiado hasta ahora?

Respuesta: Sí, se trata de la ecuación de una hipérbola referida a sus asíntotas.
Solución

Sabemos por lo que acabamos de estudiar que matemáticas conicas

Teniendo en cuenta los datos del problema, xy= 1 podemos decir que los valores de  x  e  y  son: x = 1, y = 1 y que matemáticas conicas de donde deducimos: matemáticas conicas

 

26.31  Teniendo en cuenta el enunciado del problema anterior ¿cuáles son las coordenadas de los vértices y focos?

Respuesta:

matemáticas conicas

Solución

Dibujamos esta hipérbola equilátera:

matemáticas conicas

Vemos que las coordenadas de los vértices son:

matemáticas conicas

Para calcular las coordenadas de los focos tenemos en cuenta que matemáticas conicas

Al ser una hipérbola equilátera vemos que:

matemáticas conicas

Anteriormente hemos visto que matemáticas conicas en (I) sustituimos el valor de a por matemáticas conicas y vemos que matemáticas conicas

Como y b son iguales, es decir, sus catetos son iguales, para que la hipotenusa (c) valga 2,

matemáticas conicas

luego las coordenadas de los focos serán: matemáticas conicas

 

26.32   Calcula los valores de a,b,c  y las coordenadas de vértices y focos de la hipérbola matemáticas conicas

Respuestas:

Las coordenadas de A son: matemáticas conicas

Las coordenadas de B son: matemáticas conicas

Las coordenadas de los focos son: matemáticas conicas

Solución
Aplico la fórmula de la ecuación de una hipérbola equilátera referida a sus asíntotas:

matemáticas conicas

Como se trata de una hipérbola equilátera x  e  y  son iguales.
Ahora trato el problema como si se tratara de un triángulo rectángulo en el que la hipotenusa vale 2 y los catetos son iguales:

matemáticas conicas

Tenemos que tener en cuenta que las hipérbolas las tenemos situadas en el primer y tercer cuadrantes:

Las coordenadas de A son: matemáticas conicas

Las coordenadas de B son: matemáticas conicas

Como matemáticas conicas

Sabemos que matemáticas conicas, sustituimos en matemáticas conicas

Si la distancia matemáticas conicas es la hipotenusa de dos catetos iguales

matemáticas conicas

Las coordenadas de los focos son: matemáticas conicas

 

26.33  ¿Cuáles serían las coordenadas de los vértices y focos de la hipérbola equilátera cuya ecuación es xy =4?

Respuestas:

matemáticas conicas

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