Hipérbola equilátera

Una hipérbola es equilátera cuando los semiejes  b son iguales:

matem√°ticas conicas

Esto quiere decir:  a = b.
Si observas las asíntotas, verás que se tratan de las bisectrices (dividen un ángulo en dos partes iguales).

 

Ecuación reducida de la hipérbola equilátera

Te basta con hacer uso de la forma reducida: matem√°ticas conicas

Como y b son iguales, podemos escribir: matem√°ticas conicas

Haciendo operaciones llegamos: matem√°ticas conicas

 

Ecuaciones de las asíntotas de una hipérbola equilátera

Dado que las asíntotas son bisectrices, los valores de x e y son iguales, por lo tanto, matem√°ticas conicas son las ecuaciones de las asíntotas. El doble signo se debe al cuadrante donde está situada.

 

Ecuación de la hipérbola cuando las asíntotas son los ejes de coordenadas
Para que las asíntotas se conviertan en ejes de la hipérbola equilátera, es suficiente girar 45º:

matem√°ticas conicas

Un punto cualquiera de la hipérbola puede estar situado en el vértice, como puedes apreciar en la figura.

Sabemos por lo estudiado hasta aquí que:

matem√°ticas conicas

La distancia matem√°ticas conicas

Sustituimos valores en esta última igualdad:

matem√°ticas conicas

Haciendo operaciones:

matem√°ticas conicas

Desarrollamos los productos notables:

matem√°ticas conicas

Reducimos términos semejantes:

matem√°ticas conicas

Simplificamos por  4a:

matem√°ticas conicas

Elevamos ambos miembros al cuadrado y reducimos términos semejantes:

matem√°ticas conicas

Como puedes comprobar, la ecuación de la hipérbola equilátera, con relación a las asíntotas es:  

matem√°ticas conicas

Podemos simplificar y nos quedará:

matem√°ticas conicas

representa un valor real conocido.

 

26.30  ¿Puedes decir si xy = 1 representa a la ecuación de alguna de las cónicas que has estudiado hasta ahora?

Respuesta: Sí, se trata de la ecuación de una hipérbola referida a sus asíntotas.
Solución

Sabemos por lo que acabamos de estudiar que matem√°ticas conicas

Teniendo en cuenta los datos del problema, xy= 1 podemos decir que los valores de  x  e  y  son: x = 1, y = 1 y que matem√°ticas conicas de donde deducimos: matem√°ticas conicas

 

26.31  Teniendo en cuenta el enunciado del problema anterior ¿cuáles son las coordenadas de los vértices y focos?

Respuesta:

matem√°ticas conicas

Solución

Dibujamos esta hipérbola equilátera:

matem√°ticas conicas

Vemos que las coordenadas de los vértices son:

matem√°ticas conicas

Para calcular las coordenadas de los focos tenemos en cuenta que matem√°ticas conicas

Al ser una hipérbola equilátera vemos que:

matem√°ticas conicas

Anteriormente hemos visto que matem√°ticas conicas en (I) sustituimos el valor de a por matem√°ticas conicas y vemos que matem√°ticas conicas

Como y b son iguales, es decir, sus catetos son iguales, para que la hipotenusa (c) valga 2,

matem√°ticas conicas

luego las coordenadas de los focos serán: matem√°ticas conicas

 

26.32   Calcula los valores de a,b,c  y las coordenadas de vértices y focos de la hipérbola matem√°ticas conicas

Respuestas:

Las coordenadas de A son: matem√°ticas conicas

Las coordenadas de B son: matem√°ticas conicas

Las coordenadas de los focos son: matem√°ticas conicas

Solución
Aplico la fórmula de la ecuación de una hipérbola equilátera referida a sus asíntotas:

matem√°ticas conicas

Como se trata de una hipérbola equilátera x  e  y  son iguales.
Ahora trato el problema como si se tratara de un triángulo rectángulo en el que la hipotenusa vale 2 y los catetos son iguales:

matem√°ticas conicas

Tenemos que tener en cuenta que las hipérbolas las tenemos situadas en el primer y tercer cuadrantes:

Las coordenadas de A son: matem√°ticas conicas

Las coordenadas de B son: matem√°ticas conicas

Como matem√°ticas conicas

Sabemos que matem√°ticas conicas, sustituimos en matem√°ticas conicas

Si la distancia matem√°ticas conicas es la hipotenusa de dos catetos iguales

matem√°ticas conicas

Las coordenadas de los focos son: matem√°ticas conicas

 

26.33  ¿Cuáles serían las coordenadas de los vértices y focos de la hipérbola equilátera cuya ecuación es xy =4?

Respuestas:

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