Elipse

¿Qué entendemos por elipse?

matemáticas conicas

Se trata  del lugar geométrico de los puntos (línea amarilla) cuya suma de distancias a dos puntos fijos F1 y F2llamados focos se mantiene constante:

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Construcción de una elipse
A esta construcción se la conoce con el nombre de  método del jardinero.
Puedes hacer con cartón liso, dos chinchetas, una cuerda y un bolígrafo. También puedes hacerla sobre arena sirviéndote de dos palos iguales, una cuerda y un tercer palo que acabe en punta para rayar el suelo.

La cuerda las atas a las chinchetas (amarillo clavadas en el cartón) o a los dos palos iguales (amarillo clavadas en la arena).

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Con el bolígrafo o el palo acabado en punta y la cuerda tensada trazamos la línea que nos permite la cuerda:

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La figura obtenida será la elipse.

Elementos de una elipse
Vas a fijarte en la figura siguiente:

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Diámetro mayor: 2a (AA’)

Diámetro menor: 2b (BB’)

Distancia focal (o entre focos): matemáticas conicas

Vértices de la elipse: A, A’, B, B’

Semieje menor: matemáticas conicas

Semieje mayor: matemáticas conicas

En toda elipse según lo anterior, la suma de las distancias de un punto P a los focos se mantiene constante según puedes comprobar en la figura siguiente:

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Según lo estudiado hasta aquí podemos escribir la igualdad:

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Elipses horizontales y verticales
Venimos estudiando la elipse horizontal que tiene el eje mayor (2a) en el eje de abscisas y el menor (2b) en el de ordenadas.

Cuando el eje mayor se encuentre en el de ordenadas y el menor en el de las abscisas decimos que se trata de una elipse vertical.

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Es fácil saber si se trata horizontal y vertical. Lo sabemos desde el momento que nos den las coordenadas de los focos o vértices.

Si te dicen que los focos se encuentran en ( -3, 0) y (3, 0) vemos que se encuentra en el eje horizontal.

Se trata de una elipse horizontal.

Si los focos están situados en (0, -3) y (0, 3) significa que el eje mayor es vertical y horizontal el menor.
Se trata de una elipse vertical.

En ambos casos la suma de distancias de un punto de la elipse respecto a sus focos se mantiene constante (2a).

 

Ecuación reducida de la elipse
En la figura que tienes a continuación ves que el punto P(x,y) pertenece a la elipse.

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Teniendo en cuenta el teorema de Pitágoras podemos escribir:

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El punto F1 corresponde a Elipse y matemáticas conicas

Tomando el punto P(x,y) en otro lugar de la elipse como lo tenemos a continuación y recordando la distancia entre dos puntos (en este caso no tenemos en cuenta el teorema de Pitágoras –no existe el ángulo recto-)podemos escribir:

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La distancia matemáticas conicas

La distancia matemáticas conicas

La suma de ambas distancias es:

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De esta igualdad vamos a obtener la fórmula de la elipse y para ello pasamos el segundo sumando a la derecha del signo (=):

matemáticas conicas

Elevamos ambos miembros al cuadrado:

matemáticas conicas

Después de reducir términos semejantes matemáticas conicas, elevamos al cuadrado lo encerrado entre paréntesis excepto el radicando:

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Reduciendo términos semejantes nos queda:

matemáticas conicas simplificamos por 4 y llegamos a

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Elevamos ambos miembros al cuadrado después de dejar al término con la raíz cuadrada a la derecha del (=):

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Haciendo operaciones:

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Quitando el paréntesis:

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Reducimos términos semejantes:

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Dejamos a la izquierda del (=) a los términos que contienen incógnitas y sacamos factores comunes:

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En (I) hemos deducido: matemáticas conicas. Obtenemos que matemáticas conicas

Sustituimos matemáticas conicas por matemáticas conicas:

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Dividimos por matemáticas conicas a todos los términos:

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Simplificando llegamos a la ecuación reducida o canónica de la elipse con centro en el origen de coordenadas:   

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