Centro Radical de tres Circunferencias II

26.12  Calcula la distancia matemáticas conicas de la figura siguiente que como ves, se trata de un segmento de la recta tangente.

matemáticas conicas

Las coordenadas de  son (2,1).

La ecuación de la circunferencia es: matemáticas conicas

Respuesta: 3 u.

Solución
Se supone que el punto de tangencia es T.

Fíjate en la figura siguiente:

matemáticas conicas

La potencia del punto  escribimos matemáticas conicas

En la última figura hemos colocado los puntos que nos interesan.
Se nos han formado dos triángulos: PTA y PBT   que son semejantes. Compruébalos en las dos figuras siguientes:

matemáticas conicas

En el triángulo pequeño (verde), el ángulo en T es igual al ángulo en B del triángulo grande (morado) tal como ha quedado reflejado en la figura anterior a estas dos. 
Por otra parte, el ángulo en P es el mismo para los dos triángulos. Esto quiere decir que son semejantes o que los lados son proporcionales:

matemáticas conicas

Producto de extremos igual al producto de medios:

matemáticas conicas

La longitud del segmento perteneciente a la tangente valdrá:

matemáticas conicas

 

26.13  Sabemos que el radio de una circunferencia mide 4 unidades, que pasa por el punto (2,3) y el centro lo tiene situado en la recta matemáticas conicas.

¿Cuál es su ecuación?

Respuesta: matemáticas conicas

Solución

Sirviéndonos de una figura anterior:

conicas

La distancia del centro a un punto de la circunferencia o radio, que la conocemos 4, podemos escribir:

matemáticas conicas

Si (a,b) son las coordenadas del centro y éste se halla en la recta:
2x+y-1= 0, la ecuación de esta recta podemos escribirla:
                                         2a+b-1= 0 

 

Resolvemos el sistema: matemáticas conicas

 

matemáticas conicas

matemáticas conicas

Tendremos dos circunferencias con centros en: (0.93,-0.86) 
                                                                           y 
                                                                    (-1.73,4.46)

cuyas ecuaciones son:

matemáticas conicas

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