Centro Radical de tres Circunferencias

Se llama centro radical  de tres circunferencias al punto que tiene la misma potencia respecto de estas tres circunferencias.

matemáticas conicas

Así como el eje radical nos viene dada por una ecuación de primer grado, el punto radical nos vendrá indicado por las coordenadas de un punto.

El centro radical se calcula hallando los ejes radicales tomando las circunferencias dos a dos y resolviendo el sistema de las dos ecuaciones obtenidas.

26.9  Halla el punto radical de las circunferencias:

matemáticas conicas

Respuestamatemáticas conicas

Solución
Tomando las dos primeras, llegamos a:

matemáticas conicas

Tomando la 1ª y 3ª ecuaciones obtenemos:

matemáticas conicas

Hallamos los valores de e y  con las ecuaciones de los ejes radicales obtenidos:

matemáticas conicas

Sustituyendo calculamos el valor de x:

matemáticas conicas

 

26.10  Una circunferencia tiene su centro en el punto (2,1) y pasa por el punto (-6, 2) ¿cuánto vale el radio y cuál es la ecuación de la circunferencia?

Respuestas: matemáticas conicas

 

26.11  En la siguiente figura:

matemáticas conicas

puedes observar una circunferencia cuyo centro está en el punto (3,5) y suponemos que es tangente a la recta2x - y -5 = 0. ¿Cuánto vale el radio de la circunferencia?

Respuesta: 1,788 u.

Solución (lo vamos a hacer de dos maneras).

En realidad se trata de calcular la distancia de un punto (centro de la circunferencia) a una recta (ecuación de la tangente) matemáticas conicas

Recordamos:
1.-En la siguiente figura:

matemáticas conicas

vemos que la distancia entre el punto P y la recta r equivale a matemáticas conicas

Podemos escribir la igualdad: matemáticas conicas

Si pizza es una normal que la tenemos situada en O, un punto cualquiera de la recta r y multiplicamos por ella a cada término de la igualdad anterior tendremos:

conicas

Sabemos que matemáticas conicas y matemáticas conicas forman 90º y su producto es cero porque dependen del coseno del ángulo que forman, por lo que la igualdad última nos queda (tomando los valores absolutos):

matemáticas conicas

Despejamos la distancia entre el punto y la recta:

matemáticas conicas

Siendo matemáticas conicas las coordenadas de un punto cualquiera de la recta rmatemáticas conicas las del centro de la circunferencia y la ecuación de la recta tangente matemáticas conicas tendremos:

Coordenadas de la normal matemáticas conicas

La distancia matemáticas conicas vendrá dada por matemáticas conicas que matemáticas conicas

sustituyendo en matemáticas conicas

Estos valores los sustituimos en (I):

matemáticas conicas

 

Como matemáticas conicas es un punto de la recta  matemáticas conicas, despejando C ,

matemáticas conicas de donde  (II) puedo escribir:

matemáticas conicas

Aplicando al problema:

matemáticas conicas

2.- Otro modo de resolver el problema:

Nos fijamos en la siguiente figura:

matemáticas conicas

En primer lugar tenemos en cuenta la recta r y el punto P.

La distancia más corta de P a r es la perpendicular entre ambos, es decir, matemáticas conicas

Esta distancia pertenece a la recta s perpendicular a r, o dicho de otro modo, normal a r.

De la recta s conocemos el punto matemáticas conicas y además sabemos que si la recta r es  2x-y-5= 0 , su perpendicular será un vector director de s que podremos escribir matemáticas conicas

Observa que vector v es paralelo a s y los coeficientes de e  y serán 2 y – 1 lo que nos permite escribir:  matemáticas conicas

Escribimos la ecuación de la recta s en su forma paramétrica:

matemáticas conicas

Un punto de esta recta vendría dado por: matemáticas conicas

Calculamos el valor de k sustituyendo estos valores de abscisa y ordenada en la recta:

matemáticas conicas

matemáticas conicas

Este punto común a r y corresponde a Q.

La distancia matemáticas conicas tiene su origen en (3,5) y su final en matemáticas conicas

La distancia entre estos dos puntos será:

matemáticas conicas

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