Elipse III

26.20  Calcula el centro de la elipse que tiene por ecuación:

matemáticas conicas

¿Cuál es su ecuación?
¿Es vertical esta elipse?

Respuesta: matemáticas conicas Sí  
Solución
Ordenamos y haciendo operaciones obtenemos:

matemáticas conicas

Dividimos por 10 a cada término:

matemáticas conicas

El eje mayor (2a) es vertical.

 

26.21  ¿Cuáles son las coordenadas de los focos de la elipse cuya ecuación es:

matemáticas conicas?

Respuesta: matemáticas conicas

Solución
Se trata de una elipse vertical:

matemáticas conicas

 

Excentricidad de la elipse
Cuando nos referimos a una persona con la palabra excéntrico queremos indicar que se trata de una persona rara o extravagante, que vive fuera de la realidad, fuera de lo que entendemos como normal, fuera de lo que es el  centro.
Un día que nieva no es normal salir a la calle con un bañador y gafas de sol.

A la elipse le sucede algo parecido. Los puntos que la componen no están situados a la misma distancia del centro.
Si los puntos que forman la elipse estuviesen situados a la misma distancia del centro tendríamos una circunferencia.

Cuanto menor sea la excentricidad más se parecerá a una circunferencia.

La excentricidad (e) equivale al cociente tomando como numerador la distancia del centro de la elipse a un foco (c)  y denominador, la distancia del centro de la elipse al vértice (a):

matemáticas conicas

El valor de la excentricidad se halla comprendido entre 0 y 1, es decir, matemáticas conicas

Cuanto mayor sea el valor de más achatada será la elipse.

En el caso de que la excentricidad fuese igual a 1 obtendríamos una recta.

matemáticas conicas

Cuanto menor es el numerador más se parece a un círculo.

matemáticas conicas

 

26.22  El eje mayor de una elipse mide 20 y su excentricidad es igual a matemáticas conicas ¿cuál es su ecuación?

Respuesta: matemáticas conicas

Solución
Si el eje mayor mide 20,  a = 10.

Podemos escribir la proporción tomando el valiéndonos del valor de e:

matemáticas conicas

Para escribir la fórmula necesitamos conocer el valor de matemáticas conicas:

matemáticas conicas

La ecuación de esta elipse es:     

matemáticas conicas

 

26.23  Tienes debajo la figura con sus medidas aproximadas de la órbita de la Tierra alrededor del Sol.
¿Cuál es la excentricidad?

matemáticas conicas

Respuesta: 0,0167


Solución
Conocemos a y b, necesitamos el valor de c:

matemáticas conicas

Aplicamos la fórmula para conocer la excentricidad:

matemáticas conicas

 

Tangente a una elipse
Los radios vectores de cualquier punto de una elipse forman ángulos iguales con la tangente en dicho punto.
Para ello nos fijamos en la siguiente figura en que los vectores (distancias de un punto de la elipse a cada foco)  forman ángulos iguales con las tangentes en los puntos P’ de la elipse:

matemáticas conicas

Como sabemos que la pendiente de una recta (en este caso la tangente) equivale a la derivada, podemos calcular la ecuación de la recta tangente valiéndonos de la forma punto, pendiente:

 

26.24  ¿Cuál es la ecuación de la recta tangente en el punto P(1,1) de la elipse matemáticas conicas?

Respuesta: matemáticas conicas

Solución

Hallamos la derivada de matemáticas conicas

matemáticas conicas

Conocemos los valores del punto P(1,1)

Sustituyendo en matemáticas conicas

matemáticas conicas

Ecuación de la Recta tangente (punto, pendiente) matemáticas conicas

matemáticas conicas

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