Ecuación de la parábola en la forma general

Aceptamos el significado de general como la parábola cuyo vértice no está situado en el origen de coordenadas.

Supongamos que el vértice de una parábola cuando su eje focal es paralelo al eje Y se halla situado en el punto (h,k).


En este caso tendremos que trasladar el vértice al nuevo punto quedándonos establecida la fórmula:

matemáticas conicas

Hacemos operaciones:

matemáticas conicas

Damos valores a:

matemáticas conicas

Sustituyendo estos valores en (I) obtenemos la ecuación general de la parábola:

matemáticas conicas

Cuando su eje focal es paralelo al eje X se halla situado en el punto (h, k)  la fórmula es:

matemáticas conicas

26.42 Una parábola tiene su foco en el punto F(5,0) y su vértice en V(1,0). ¿Cuál es su ecuación? Dibuja la parábola.

Respuesta:

matemáticas conicas

Solución

El valor de matemáticas conicas

El punto (h, k) corresponde a (1, 0)

La ecuación es:

matemáticas conicas

La ecuación matemáticas conicas se refiere a una parábola ¿cuál es su vértice?

Respuesta: conicas

conicas

Solución
A la ecuación que nos han dado le sumamos y restamos 9 para obtener el desarrollo del cuadrado de dos números:

matemáticas conicas

La podemos transformar en:

matemáticas conicas

Sacamos factor común:

matemáticas conicas

Vemos que el vértice está situado en matemáticas conicas

 

26.44 Dibuja 4 parábolas con las ramas hacia arriba, hacia abajo, hacia la izquierda y hacia la derecha, incluyendo en cada caso, su ecuación correspondiente.

Respuestas:

matemáticas conicas

matemáticas conicas

 

26.45 ¿Qué ecuación tiene una parábola cuyo eje es paralelo al eje y sabiendo que pasa por el punto matemáticas conicas y su vértice se halla en el punto matemáticas conicas?

Respuesta:

matemáticas conicas

matemáticas conicas

Solución

Calculamos p y para ello escribimos matemáticas conicas Sabes que esta parábola pasa por el punto (4.5,1.5), sustituyendo en (I):

matemáticas conicas

 

26.46 Halla los puntos de intersección de la recta matemáticas conicas y la parábola matemáticas conicas

Respuestas: matemáticas conicas

matemáticas conicas

Solución
Como se trata de puntos de intersección, han de ser comunes para la recta y parábola por lo que creamos el sistema de ecuaciones:

matemáticas conicas

Resolvemos teniendo en cuenta (1ª ecuación): matemáticas conicas

Sustituyendo este valor en la segunda ecuación, simplificando y reduciendo términos semejantes:

matemáticas conicas

Resolviendo esta ecuación y sustituyendo valores en la 1ª ecuación tenemos:

matemáticas conicas

Vemos que los puntos comunes corresponden a (2.5, -1) y (1,2).

 

26.47 Escribe la ecuación de la recta tangente a la parábola matemáticas conicas en el punto cuya abscisa vale 2.

Respuesta: matemáticas conicas

matemáticas conicas

Solución
Voy a presentar la ecuación en la forma punto pendiente.

Calculo la tangente o derivada (pendiente) de matemáticas conicas con relación a y:

matemáticas conicas simplifico: matemáticas conicas

La pendiente vale: matemáticas conicas. En el punto donde la abscisa tiene el valor 2, dicha pendiente será:

matemáticas conicas

En el punto donde la abscisa vale 2, la ordenada vale:

matemáticas conicas

Hago uso de la forma punto-pendiente matemáticas conicas

matemáticas conicas

Haciendo operaciones: matemáticas conicas

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