Distancia entre un punto y una recta en el espacio

DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA EN EL ESPACIO.


Vamos a utilizar dos formas para calcular la distancia de un punto en el espacio a una recta.

En la 1ª haremos uso de la fórmula y en la 2ª no la tendremos en cuenta.

 

1)  En la siguiente figura puedes ver un punto P en un espacio tridimensional, una recta r  y el vector director vector director .

 la distancia entre el punto y la recta  es la distancia entre el punto y la recta y vemos que es perpendicular al vector director 

 la distancia entre el punto y la recta

A continuación tienes  representada gráficamente la suma de dos vectores:           

suma de dos vectores                          

Podemos decir que: suma de dos vectores                   

Multiplicamos vectorialmente por el vector director vector directora los dos miembros de la igualdad anterior:

igualdad

Sabemos que el seno del ángulo de la figura que tienes a continuación:

seno del ángulo

es seno del ángulo

¿Qué sucedería si los vectores fuesen paralelos?
Sucedería que el ángulo que formarían dichos vectores (paralelos lo comprobamos en la siguiente figura) sería cero y el seno de cero vale 0:

seno del ángulo

Esto quiere decir que el producto vectorial: producto vectorialvale cero por ser paralelos ambos vectores  según puedes comprobar en la figura:

Nos ha quedado: producto vectorial de donde despejando la distancia del punto a la recta nos queda:

producto vectorial

Observarás que para realizar los cálculos, hacemos uso de las medidas o módulos de los vectores.

 

24.12  Halla la distancia del punto distancia del punto a la recta

recta

Respuesta: 3,73 u.

Solución

Vuelvo a tomar la figura:

 figura

Si me fijo en los parámetros de la recta del texto del problema, observo que el vector director al que llamo vector directortiene como componentes componentes y el punto el punto

Calculamos el vector vectorya que sabemos las coordenadas de A y de P.      

las coordenadas

La distancia de P  hasta Q es:

distancia

Sustituyendo valores:

distancia

El numerador es el producto vectorial de dos vectores:

vectorial de dos vectores

Podemos escribir:

vectorial de dos vectores

Numerador y denominador:

Numerador y denominador

 

24.13  Halla la distancia del punto distancia del puntoa la recta

 la recta

Respuesta:

 la recta

2) Sin hacer uso de la fórmula vamos a resolver el problema anterior.

 

24.14   Halla la  distancia del punto distancia del punto a la recta

 la recta.

Respuesta:  la recta

Solución
En el espacio tridimensional de la figura siguiente tenemos un punto P  y una recta y tenemos que calcular la distancia entre ambos.       

                    Trazamos la perpendicular desde hasta que es la distancia del punto a la recta:

la perpendicular

Incluimos el punto y la recta en un plano que es perpendicular a la recta r:

plano perpendicular

 

Tenemos que calcular la ecuación del plano y después, el punto de intersección de éste con la recta (Q).

No pierdas de vista que lo que tenemos que calcular es la distancia la distancia

Conocemos las coordenadas de que son la distancia

La ecuación de la recta es:

De la ecuación de la recta:

ecuación de la recta:

Vemos que las componentes del vector director de r (lo representamos por vector) son ecuación de la recta:

Sabemos que el plano y la recta tienen el punto en común.

El vector director de la recta es el mismo que el vector normal del plano.

Esto nos permite escribir la ecuación del plano:

la ecuación del plano

Tenemos que calcular el valor de D.

 

Conocemos un punto punto , que se encuentra también en el plano.Estos valores los sustituimos en: valores

el plano

el plano

La ecuación del plano finalmente nos queda:

ecuación del plano

Sabemos que Q es la intersección del plano y de la recta.

Escribimos la ecuación de la recta en su forma paramétrica de la que conocemos el punto ecuación de la recta que lo obtenemos de la parte numérica de cada numerador de su ecuación en forma continua:

ecuación de la recta

quedándonos:

ecuación de la recta

Sustituimos estos parámetros en: parámetrospara hallar el valor de k:

ecuación de la recta

Esto nos permite conocer las componentes del punto Q debido a que el vector director de la recta es el mismo que el propio o característico del plano y el punto es común a los dos:

ecuación

Las componentes de Q son:

Las componentes de Q

Por fin, queremos saber la distancia la distanciay para ello calculamos la diferencia de los valores de las componentes de los dos puntos, P y Q:

la distancia

la distancia

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