Potencias de exponente entero

El exponente de una potencia puede ser un número entero y tener por tanto signo positivo o negativo.

Una potencia de signo negativo es igual a 1 dividido por la misma potencia con signo positivo:

X-n = 1 / Xn

Veamos un ejemplo:

4-3 = 1 / 43

 

1.- Propiedades de las potencias:

1.- El producto de 2 potencias con diferentes bases e iguales exponentes es igual al producto de sus bases manteniendo el mismo exponente.

33 x53 = 153

2.- La división de 2 potencias con diferentes bases e iguales exponente es igual a la división de sus bases manteniendo el mismo exponente.

122 :42 = 32

3.- El producto de 2 potencias con iguales bases y diferentes exponentes es igual a la misma base siendo su exponente la suma de los exponentes.

43 x45 = 43 + 5 = 48

4.- La división de 2 potencias con iguales bases y diferentes exponentes es igual a la misma base siendo su exponente la resta de los exponentes.

56 :54 = 56 - 4 = 52

5.- Una potencia elevada a otra potencia mantiene la misma base siendo el exponente el producto de sus exponentes.

( 52 )3 = 52 x 3 = 56

6.- Una fracción elevada a un exponente es igual a numerador y denominador elevados a dicho exponente.

( 2 / 6)3 = 23 / 63

7.- Una fracción elevada a un exponente negativo es igual a la fracción inversa elevada al exponente positivo.

( 2 / 6)-3 = ( 6 / 2)3

 

 

2.- Operaciones con potencias

A la hora de resolver operaciones combinadas el orden de resolución es el siguiente:

1.- Los paréntesis, comenzando por los paréntesis interiores

2.- Las potencias

3.- Las multiplicaciones y las divisiones

4.- Las sumas y las restas.

Veamos algunos ejemplos:

1º ejemplo:

(2 / 3)2 x (2 / 3)-2 =

(2 / 3)2 x (3 / 2)2 = (En rojo: la potencia negativa de una fracción es igual a la potencia positiva de la fracción inversa)

(2 / 3 x 3 / 2)2 = (En rojo: el producto de dos potencias de igual exponente es igual al producto de sus bases elevado a dicho exponente)

(6 / 6)2 = 1

 

2º ejemplo:

(42)3 – 46 =

46 – 46 = 0 (En rojo: una potencia elevada a otra potencia es igual a la base elevada al producto de sus exponentes)

 

3º ejemplo:

32 x 34 – (1 / 3)-6 =

32+4(3 / 1)6 = (En rojo: el producto de dos potencias de la misma base es otra potencia de la misma base elevada a la suma de los exponentes; En azul: la potencia negativa de una fracción es igual a la potencia positiva de la fracción inversa)

36 – 36 = 0

 

4º ejemplo:

((5 / 7)2 - (7 / 4)-2)3 / (3 / 7)3 =

((5 / 7)2 - (4 / 7)2)3 / (3 / 7)3 = (En rojo: la potencia negativa de una fracción es igual a la potencia positiva de la fracción inversa)

(52 / 72 - 42 / 72)3 / (3 / 7)3 = (En rojo: la potencia de una fracción es igual a numerador y denominador elevados a dicha potencia)

((52 - 42) / 72)3 / (3 / 7)3 = (En rojo: restamos dos potencias de igual denominador)

(32 / 72)3 / (3 / 7)3 = (En rojo: simplificamos 52 - 42 = 9 = 32)

((32 x 7) / (72 x 3))3 = (En rojo: para dividir dos potencias de igual exponente se dividen las bases y se mantiene el mismo exponente)

(3 / 7)3 = 33 / 73

 

 

3.- Potencias con exponente racional

El exponente de una potencia puede ser una fracción:

5 2 / 3

Estas potencias son equivalentes a una raíz cuyo índice es el denominador de la fracción, siendo el radicando la base de la potencia y su exponente el numerador:

numeros

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