Combinatoria: Variaciones

1.- Variaciones

Se denominan variaciones al número de grupos diferentes de “n” elementos que se pueden formar a partir de un grupo inicial de “m” elementos.

Una nota característica de las variaciones es que el orden importa.

Por ejemplo, si a partir de las 5 vocales formamos grupos de 3 vocales, el grupo “A – E – I” es diferente del grupo “A – I – E” ya que el orden de las vocales es diferente.

 

Dentro de las variaciones distinguimos:

a) Variaciones sin repetición

En las variaciones sin repetición, también denominadas variaciones ordinarias, ningún elemento del grupo inicial se puede repetir.

Por ejemplo, si a partir de las 5 vocales formamos grupos de 3 vocales, el grupo “A – A – I” no valdría ya que se repite la vocal “A”.

En las variaciones sin repetición se tiene que cumplir que n <= m.

Es decir, con las 5 vocales (m) no podemos formar grupos de 6 vocales (n) ya que al menos una se tendría que repetir.

Las variaciones sin repetición se representan por Mate o también por mate

Por ejemplo: Tenemos las 5 vocales y quiero ver cuantos grupos de 3 vocales podemos formar:

A – E – I

E – O - U

I – U – A

Para calcular el número de grupos que se puede formar se aplica la fórmula.

mate

Siendo:

m : número total de elementos

n : tamaño de los grupos

En el ejemplo anterior la fórmula aplicada sería:

mate

Se podrían formar hasta 60 grupos diferentes de 3 vocales.

Las variaciones sin repetición también se pueden calcular utilizando factoriales.

El factorial de un número “n” se representa por n! y se calcula:

n! = n * (n-1) * (n-2) * …* 3 * 2 * 1

 

Veamos un ejemplo:

6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720

Las variaciones sin repetición utilizando factoriales se calculan:

mate

En nuestro ejemplo sería:

mate

 

Veamos otros ejemplos:

En una clase de 20 alumnos se organiza un campeonato de ajedrez y se premia a los 5 primeros; ¿Cuántos resultados diferentes pueden darse?

Mate

En este ejemplo el orden importa: no es lo mismo quedar 1º que 3º.

 

En un club se celebran elecciones para elegir presidente, 1er vocal y 2 vocal entre 40 candidatos; ¿Cuántos resultados diferentes pueden darse?

mate

 

En una carrera de caballos con 15 participantes haces una apuesta triple (acertar caballo ganador, 2º y 3er clasificado); ¿Cuántos resultados diferentes pueden darse?

Mate

 

b) Variaciones con repetición

En las variaciones con sí se puede repetir una o varias veces un mismo elemento.

Por ejemplo, si a partir de las 5 vocales formamos grupos de 3 vocales, el grupo “A – A – I” sí valdría.

E grupo “A – A – A” también valdría.

En las variaciones con repetición es posible que n > m.

Es decir, con las 5 vocales (m) podemos formar grupos de 8 vocales (n):

“A – E – A – I – O – E – U - A”

Las variaciones con repetición se representan por mate

El orden sigue siendo relevante:

A – A – I

A – I - A

Cuentan como 2 grupos diferentes.

Para calcular el número de grupos que se pueden formar se aplica la fórmula.

Mate

Siendo:

m : número total de elementos

n : tamaño de los grupos

En el ejemplo de cuantos grupos de 3 vocales se pueden formar con las 5 vocales el resultado sería:

Mate

 

Veamos algunos ejemplos:

En una quiniela de 14 apuestas (1 = gana; X = empata; 2 = pierde) cuantos resultados diferentes pueden darse.

Aplicamos la fórmula de variaciones con repetición ya que las 3 opciones (1 – X – 2) se pueden repetir hasta 14 veces.

m = 3 (1 – X – 2)

n = 14 (cada quiniela tiene 14 partidos)

Mate

 

 

En una bolsa hay 5 números (del 1 al 5) y hacemos 6 extracciones (cada vez que sacamos un número lo volvemos a meter en la bolsa por lo que se puede repetir); ¿Cuántos resultados pueden darse?

m = 5 (números del 1 al 5)

n = 6 (cada resultado está formado por 6 extracciones)

Mate

 

En una clase de 20 alumnos se entregan 3 premios (música, deporte y arte); un mismo alumno puede repetir premio. ¿Cuantos posibles resultados pueden darse?

m = 20 (nº de alumnos de la clase)

n = 3 (cada posible resultado está formado por 3 premiados)

Mate

 

¿Cuántos números diferentes se pueden formar con las 10 cifras (del 0 al 9) agrupadas de 4 en 4, pudiéndose repetir las cifras.

m = 10 (nº de cifras diferentes)

n = 4 (los números que queremos formar tienen 4 cifras)

mate

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