Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas

Una ecuación lineal con 3 incógnitas representa un plano en el espacio. Por lo tanto, un sistema con 3 ecuaciones con 3 incógnitas cada una de ellas representa 3 planos en el espacio.

Para analizar la posición de estos 3 planos se pueden comparar 2 a 2. En el espacio dos planos pueden situarse de 3 formas diferentes:

a) Planos coincidentes: los coeficientes de todas las incógnitas y los términos independientes guardan la misma proporción.

 

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Ejemplo:

2x1 + 3x2 + 5x3 = 2

4x1 + 6x2 + 10x3 = 4

2 / 4 = 3 / 6 = 5 / 10 = 2 / 4

 

b) Planos paralelos: los coeficientes de todas las incógnitas guardan la misma proporción, pero NO los términos independientes.

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Ejemplo:

2x1 + 3x2 + 5x3 = 5

4x1 + 6x2 + 10x3 = 7

2 / 4 = 3 / 6 = 5 / 10 ≠ 5 / 7

 

c) Planos secantes: los coeficientes de todas las incógnitas NO guardan la misma proporción.

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Tan solo con que entre los coeficientes de una de las incógnitas no se dé la misma proporción que entre el resto sería suficiente para que los planes fueran secantes.

Ejemplo:

2x1 + 8x2 + 3x3 = 5

4x1 + 6x2 + 10x3 = 7

2 / 4 ≠ 8 / 6 ≠ 3 / 10 ≠ 5 / 7

 

Para resolver sistemas con 3 o más ecuaciones y con 3 o más incógnitas se utiliza el método de Gauss.

Partimos de la matriz ampliada:

 

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Tenemos que operar hasta obtener la matriz ampliada escalonada:

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Los distintos casos que se pueden presentar son:

a) Sistema escalonado con coeficientes no nulos: Se trata de un sistema compatible determinado por lo que tiene una única solución.

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Un sistema compatible determinado representaría 3 planos en el espacio que se cortan en un punto.

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b) Una o más filas tienen todos los elementos 0. El sistema tiene infinitas soluciones: hay que despejar una o más incógnitas en función de otras. Es un sistema compatible indeterminado.

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Un sistema compatible indeterminado representaría 3 planos en el espacio que:

b.1. Se cortan en una recta

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b.2. Dos son coincidentes y el tercero los corta en una recta:

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b.3.- Los 3 planos son coincidentes.

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c) Una o más filas tienen todos los elementos 0 salvo el término independiente “bj. Esa(s) fila (s) representaría(n) una ecuación del tipo 0 = k, ecuación que no es posible. El sistema no tiene solución: es un sistema incompatible.

 

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Un sistema incompatible (sin solución) representaría 3 planos en el espacio que bien se cortan dos a dos, bien dos son paralelos y el tercero corta a cada uno de ellos en una recta, bien los tres planos son paralelos, bien dos planos son paralelos y el tercero es coincidente con uno de ellos.

 

3 planos secantes 2 a 2)

 

2 planos paralelos 1 secante

 

3 planos paralelos

 

2 planos paralelos; 1 coicndente

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