Ejercicios

Veamos algunos ejemplos:

1er ejemplo

x + 2y – 3z = 2

3x - y + z = 1

-2x + 3y + 2z = 3

 

Representamos su matriz ampliada:

 

3ecuaciones

 

A la segunda fila le restamos la primera multiplicada por 3:

3ecuaciones52

 

A la tercera fila le sumamos la primera multiplicada por 2:

3ecuaciones53

 

A la tercera fila le sumamos la segunda:

3ecuaciones54

 

De esta manera hemos obtenido la matriz ampliada escalonada:

De los posibles casos vistos anteriormente nos encontraríamos en el modelo a) (sistema escalonado).

 

Esta última matriz representa un sistema de 3 ecuaciones equivalente al inicial compuesto por:

x + 2y – 3z = 2

-7y + 10z = -5

6z = 2

 

a) Comenzamos por despejar “z” en la tercera ecuación:

6z = 2

z1 = 2 / 6 = 0,3333

 

b) En la segunda ecuación despejamos “y”:

-7y + 10z = -5

y1 = (-5 – 10z) / (-7) = (-5 – 10*0,3333) / (-7) = 1,1905

 

c) En la primera ecuación despejamos “x”:

x + 2y – 3z = 2

x1 = 2 - 2y + 3z = 2 – 2*1,1905 + 3*0,3333 = 0,6190

 

Por lo tanto la solución a este sistema de 3 ecuaciones sería (x1 = 0,6190; y1 = 1,1905; z1 = 0,3333) y representa el punto en el plano en el que se cortan estos 3 planos.

 

Por último vamos a chequear en el sistema de ecuaciones que esta solución hace cumplir simultáneamente las 3 igualdades)

x + 2y – 3z = 2

3x - y + z = 1

-2x + 3y + 2z = 3

 

1ª ecuación:

x + 2y – 3z = 2

0,6190 + 2*1,1905 – 3*0,3333 = 2

2 = 2

 

2ª ecuación:

3x - y + z = 1

3*0,6190 - 1,1905 + 0,3333 = 1

1 = 1

 

3ª ecuación:

-2x + 3y + 2z = 3

-2*0,6190 + 3*1,1905 + 2*0,3333 = 3

3 = 3

 

2º ejemplo

5x + 4y + 2z = 5

-x - 2y + z = -2

x + y + 2z = 1

 

Representamos su matriz ampliada:

3ecuaciones55

 

Multiplicamos la segunda fila por 5 y le sumamos la primera:

3ecuaciones56

 

Multiplicamos la tercera fila por 5 y le restamos la primera:

3ecuaciones57

 

Multiplicamos la tercera fila por 6 y le sumamos la segunda:

3ecuaciones58

 

De esta manera hemos obtenido la matriz ampliada escalonada:

 

De los posibles casos vistos anteriormente nos encontraríamos en el modelo a) (sistema escalonado).

 

Esta última matriz representa un sistema de 3 ecuaciones equivalente al inicial compuesto por:

5x + 4y + 2z = 5

-6y + 7z = -5

55z = -5

 

a) Comenzamos por despejar “z” en la tercera ecuación:

55z = -5

z1 = -5 / 55 = -0,0909

 

b) En la segunda ecuación despejamos “y”:

-6y + 7z = -5

y1 = (-5 - 7z) / (-6) = (-5 – 7*(-0,0909)) / (-6) = 0,7272

 

c) En la primera ecuación despejamos “x”:

5x + 4y + 2z = 5

x1 = (5 - 4y - 2z) / 5 = (5 – 4*(0,7272) – 2*(-0,0909)) / 5 = 0,4545

 

Por lo tanto la solución a este sistema de 3 ecuaciones sería (x1 = 0,4545; y1 = 0,7272; z1 = -0,0909) y representa el punto en el plano en el que se cortan estos 3 planos.

 

Por último vamos a chequear en el sistema de ecuaciones que esta solución hace cumplir simultáneamente las 3 igualdades)

5x + 4y + 2z = 5

-x - 2y + z = -2

x + y + 2z = 1

 

1ª ecuación:

5x + 4y + 2z = 5

(5*0,4545) + (4*0,7272) + (2*(-0,0909)) = 5

5 = 5

 

2ª ecuación:

-x - 2y + z = -2

-0,4545 - (2*0,7272) - 0,0909 = -2

-2 = -2

 

3ª ecuación:

x + y + 2z = 1

0,4545 + 0,7272 + (2*(-0,0909)) = 1

1 = 1

 

3er ejemplo

2x + 4z = 3

3x + y + 2z = 1

6x + 2y + 4z = 7

 

Representamos su matriz ampliada: Como la primera ecuación no lleva incógnita “y”, en la columna de la matriz correspondiente a esta incógnita hemos puesto 0.

3ecuaciones59

 

Multiplicamos la primera fila por 3 y la segunda por 2:

3ecuaciones60

 

A la segunda fila le restamos la primera:

3ecuaciones61

 

A la tercera fila le restamos la primera:

3ecuaciones62

 

A la tercera fila le restamos la segunda:

3ecuaciones63

 

De esta manera hemos obtenido la matriz ampliada escalonada:

 

De los posibles casos vistos anteriormente nos encontraríamos en el modelo c) (sistema incompatible).

 

Esta última matriz representa un sistema de 3 ecuaciones equivalente al inicial compuesto por:

6x + 12z = 9

2y - 8z = -2

0 = 5

 

Esta última ecuación no es posible; el sistema no tiene solución.

 

4º Ejemplo

x - 3y + 2z = 5

2x - y + 3z = 2

2x - 6y + 4z = 10

 

Representamos su matriz ampliada:

3ecuacions64

 

Multiplicamos la primera fila por 2

3ecuaciones65

 

A la segunda fila le restamos la primera:

3ecuacions66

 

A la tercera fila le restamos la primera:

3ecuaciones67

 

De esta manera hemos obtenido la matriz ampliada escalonada:

 

De los posibles casos vistos anteriormente nos encontraríamos en el modelo b): Es un sistema compatible indeterminado (El sistema tiene infinitas soluciones: hay que despejar una o más incógnitas en función de otras).

 

Esta última matriz representa un sistema de 2 ecuaciones equivalente al inicial compuesto por:

2x - 6y + 4z = 10

5y - z = -8

 

En la segunda ecuación despejamos la incógnita “z”:

z = 5y + 8

 

En la primera ecuación sustituimos la incógnita “z” por esta expresión:

2x - 6y + 4*(5y + 8) = 10

2x - 6y + 20y + 32 = 10

2x + 14y = -22

 

Tenemos una ecuación con 2 incógnitas por lo que tiene infinitas soluciones: en función del valor que toma una de las incógnitas podemos calcular el valor de las otras dos:

Si x = 1:

2 + 14y = -22

14y = -24

y = -24 / 14 = -1,7142

z = 5*(-1,7142) + 8 = -0,5714

 

Si x = 4:

8 + 14y = -22

14y = -30

y = -30 / 14 = -2,1429

z = 5*(-2,1429) + 8 = -2,7143

 

Si x = -3:

-6 + 14y = -22

14y = -16

y = -16 / 14 = -1,1429

z = 5*(-1,1429) + 8 = 2,2857

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