Sistema cuadrado

Cuando un sistema de ecuaciones tiene el mismo número de ecuaciones que de incógnitas decimos que es un sistema cuadrado. La matriz de coeficientes es cuadrada. El sistema se puede escribir matricialmente:

A * X = B

Siendo:

A: la matriz de coeficientes

X: la matriz de incógnitas

B: la matriz de términos independientes

 

Vamos a tratar de despejar X para ellos es necesario que la matriz A posea inversa A-1. En este caso podemos:

A-1 * A * X = A-1 * B

 

3ecuaciones68

 

De esta manera calcularíamos X y el sistema tendría solución única.

 

Si la matriz A no posee inversa no se puede aplicar este método de resolución.

 

Para ver si una matriz A tiene inversa calculamos su determinante “det (A)” y este debe ser distinto de cero.

 

 

Cálculo del determinante de una matriz

Dada una matriz cuadrada A de tres filas y 3 columnas:

 

3ecuaciones69

 

Su determinante se calcula:

 

3ecuaciones70

 

Gráficamente representamos en azul las multiplicaciones que suman y en naranja las multiplicaciones que restan:

 

3ecuaciones71

 

Veamos un ejemplo:

Dado el siguiente sistema lineal de 3 ecuaciones:

x + 2y – 3z = 2

3x - y + z = 1

-2x + 3y + 2z = 3

 

Se trata de un sistema cuadrado (3 ecuaciones con 3 incógnitas) vamos a ver si se puede resolver:

 

Representamos la matriz de coeficientes:

3ecuaciones72

 

Calculamos su determinante: |A| = -42 ≠ 0

Luego la matriz A tiene matriz inversa 3ecuaciones73. Vamos a calcularla aplicando un procedimiento que se denomina “cálculo por determinantes”:

3ecuaciones74

 

Siendo:

|A|: Determinante de la matriz

A*: Matriz adjunta.

(A*) t: Traspuesta de la matriz adjunta

 

Comenzamos a calcular:

|A| = - 42

A*: Para calcular la matriz adjunta se sustituye cada elemento de la matriz por su determinante:

En el cuadro siguiente subrayamos en naranja el elemento de la matriz que vamos a sustituir por sus determinante y en azul los elementos de la matriz que forman parte de sus determinantes.

 

3ecuaciones75

 

3ecuaciones76

 

Cada determinante se calcula de la siguiente manera (vamos a calcular el del primer elemento):

 

3ecuaciones77

 

Multiplicamos en cruz: con fondo azul suma y con fondo naranja resta: El determinante de a11 = (-1 * 2) – (1 * 3) = -5

 

3ecuaciones78

 

La traspuesta de la matriz adjunta se calcula sustituyendo las filas por columnas:

 

3ecuaciones79

 

Luego la matriz inversa es igual:

 

3ecuaciones80

 

Vimos que: X = 3ecuaciones73 * B

Luego:

3ecuaciones81

 

Una vez calculadas las soluciones, habría que ir al sistema inicial, sustituir las incógnitas por sus soluciones y verificar que se cumplen las igualdades:

x + 2y – 3z = 2

3x - y + z = 1

-2x + 3y + 2z = 3

 

Sustituyendo:

(0,6190) + 2*(1.1905) – 3*(0,3333) = 2

3*(0,6190) - (1.1905) + (0,3333) = 1

-2*(0,6190) + 3*(1.1905) + 2*(0,3333) = 3

 

Operando:

2 = 2

1 = 1

3 = 3

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