Método de Cardano

b) Método de Cardano

Si una ecuación de tercer grado no la podemos descomponer aplicando la Regla de Ruffini utilizaremos para su resolución el Método de Cardano.

En primer lugar vamos a analizarlo desde un punto de vista operativo para que el estudiante pueda aplicarlo.

A continuación, por si al estudiante le puede interesar, vamos a exponer todo su desarrollo, que es bastante complejo (cómo se llega desde la ecuación inicial a la obtención de las soluciones).

b.1.- Análisis operativo

Partimos de la ecuación cúbica:

ax3 + bx2 + cx + d = 0

Sustituimos los coeficientes:

j igual fracción b entre a

k igual fracción c entre a

l igual fracción d entre a

La ecuación queda definida:

x3 + jx2 + kx + l = 0

Realizamos las siguientes sustituciones:

p igual menos fracción j al cuadrado entre 3 más K

q igual más fracción numerador 2 j al cubo entre denominador 27 fin fracción menos fracción numerador k j entre denominador 3 fin fracción más 1

Hacemos un cambio de variable:

x igual z menos fracción j entre 3

La ecuación inicial queda:

z3 + pz + q = 0

Que se denomina ecuación cúbica reducida. Las tres soluciones de esta ecuación son:

z subíndice 1 igual abrir paréntesis menos fracción a entre 2 más raíz cuadrada de fracción a al cuadrado entre 4 más fracción p al cubo entre 27 fin raíz cerrar paréntesis elevado a inclinada 1 tercio fin elevado más abrir paréntesis menos fracción a entre 2 menos raíz cuadrada de fracción a al cuadrado entre 4 más fracción p al cubo entre 27 fin raíz cerrar paréntesis elevado a inclinada 1 tercio fin elevado

z subíndice 2 igual menos fracción z subíndice 1 entre 2 más raíz cuadrada de abrir paréntesis fracción z subíndice 1 entre 2 cerrar paréntesis al cuadrado fin raíz más fracción a entre z subíndice 1

z subíndice 3 igual menos fracción z subíndice 1 entre 2 menos raíz cuadrada de abrir paréntesis fracción z subíndice 1 entre 2 cerrar paréntesis al cuadrado más fracción a entre z subíndice 1 fin raíz

 

Una vez conocidas z1, z2 y z3 aplicamos la conversión:

x igual z menos fracción j entre 3

Y calculamos x1, x2 y x3, que son las soluciones de la ecuación de tercer grado.

x subíndice 1 igual z subíndice 1 menos fracción j entre 3

x subíndice 2 igual z subíndice 2 menos fracción j entre 3

x subíndice 3 igual z subíndice 3 menos fracción j entre 3

 

La aplicación de este método presenta una dificultad cuando al calcular la 1ª raíz resulta que el radicando es negativo:

fracción a al cuadrado entre 4 más fracción p al cubo entre 27 menor que 0fracción a al cuadrado entre 4 más fracción p al cubo entre 27 menor que 0

Ya que la raíz cuadrada de un número negativo no tiene solución en el conjunto de los números reales. Estos casos se denominan “casos irreducibles”.

Se puede dar la paradoja de que ecuaciones que resolvemos al aplicar la Regla de Ruffini, y que calculamos 3 raíces reales, al aplicar el método de Cardano nos encontremos con este radicando negativo y no podamos seguir adelante.

Para solucionar esta dificultad del método de Cardano se aplica la fórmula de Moivre, tal como veremos en los ejemplos 5º, 6º y 7º.

 

Número de soluciones de la ecuación 

Comentábamos que la ecuación de tercer grado tiene 3 soluciones, si bien no todas tienen que ser números reales (eso sí, al menos 1 si lo es).

 

El radicando del desarrollo anterior fracción a al cuadrado entre 4 más fracción p al cubo entre 27 nos permite saber qué tipo de soluciones tiene la ecuación:

 

Si fracción a al cuadrado entre 4 más fracción p al cubo entre 27 mayor que 0 espaciola ecuación posee una solución real y dos complejas.

Si fracción a al cuadrado entre 4 más fracción p al cubo entre 27 igual 0 la ecuación posee tres raíces reales. De las que 2 son iguales.

Si resulta que p = q = 0 entonces las tres raíces reales son iguales.

Si fracción a al cuadrado entre 4 más fracción p al cubo entre 27 menor que 0 la ecuación posee tres raíces reales.

 

b.2.- Desarrollo completo del método de Cardano

Partimos de la ecuación cúbica:

ax3 + bx2 + cx + d = 0

 

Dividimos todos los coeficientes por el coeficiente del término de tercer grado “a”:

fracción a entre a x al cubo más fracción b entre a x al cuadrado más fracción c entre a x más fracción d entre a igual 0

La ecuación queda:

x al cubo más fracción b entre a x al cuadrado más fracción c entre a x más fracción d entre a igual 0

Sustituimos los coeficientes:

j igual fracción b entre a

k igual fracción c entre a

l igual fracción d entre a

Con lo que la ecuación queda definida de la siguiente manera:

x3 + jx2 + kx + l = 0

La ecuación queda:

abrir paréntesis z menos fracción j entre 3 cerrar paréntesis al cubo más j abrir paréntesis z menos fracción j entre a cerrar paréntesis al cuadrado más k abrir paréntesis z menos fracción j entre a cerrar paréntesis más l igual 0

Operamos:

abrir paréntesis z menos fracción j entre 3 cerrar paréntesis al cubo igual z al cubo menos 3 z al cuadrado abrir paréntesis fracción j entre 3 cerrar paréntesis más 3 z abrir paréntesis fracción j entre 3 cerrar paréntesis al cuadrado menos abrir paréntesis fracción j entre 3 cerrar paréntesis al cubo

j abrir paréntesis z menos fracción j entre 3 cerrar paréntesis al cuadrado igual j z al cuadrado menos 2 z fracción j al cuadrado entre 3 más fracción j al cubo entre 3 al cuadrado

k abrir paréntesis z menos fracción j entre 3 cerrar paréntesis igual k z menos fracción numerador k j entre denominador 3 fin fracción

La ecuación queda:

z al cubo menos 3 z al cuadrado abrir paréntesis fracción j entre 3 cerrar paréntesis más 3 z abrir paréntesis fracción j entre 3 cerrar paréntesis al cuadrado menos abrir paréntesis fracción j entre 3 cerrar paréntesis al cubo más j z al cuadrado menos 2 z fracción j al cuadrado entre 3 más fracción j al cubo entre 3 al cuadrado más k z menos fracción numerador k j entre denominador 3 fin fracción más 1 igual 0

En rojo marcamos dos términos que se anulan:

ecuaciones118

 

Por lo que la ecuación queda sin el término z2:

z al cubo más 3 z abrir paréntesis fracción j entre 3 cerrar paréntesis al cuadrado menos abrir paréntesis fracción j entre 3 cerrar paréntesis al cubo menos 2 z fracción j al cuadrado entre 3 más k z menos fracción numerador k j entre denominador 3 fin fracción más 1 igual 0

 

En el siguiente paso marcamos en amarillo y en verde términos que podemos agrupar:

ecuaciones118

 

 

La ecuación queda:

ecuac119

 

 

Realizamos las siguientes sustituciones:

p igual menos fracción j al cuadrado entre 3 más k

q igual más fracción numerador 2 j al cubo entre denominador 27 fin fracción menos fracción numerador k j entre denominador 3 fin fracción más 1

 

La ecuación queda:

z3 + pz + q = 0

 

Forma que se denomina ecuación cúbica reducida.

Sustituimos en esta ecuación la incógnita: z = u + v

La ecuación queda:

ecuaciones120

 

 

 

Esta ecuación se hace cero si se cumplen las dos condiciones siguientes:

u al cubo más v al cubo igual menos q
u v igual menos fracción p entre 3

 

Es un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas cuyas soluciones son:

u igual abrir paréntesis menos fracción a entre 2 más raíz cuadrada de fracción a al cuadrado entre 4 más fracción p al cubo entre 27 fin raíz cerrar paréntesis elevado a inclinada 1 tercio fin elevado

v igual abrir paréntesis menos fracción a entre 2 menos raíz cuadrada de fracción a al cuadrado entre a más fracción p al cubo entre 27 fin raíz cerrar paréntesis elevado a inclinada 1 tercio fin elevado

 

Obtenemos la primera solución:

z subíndice 1 igual u más v
z subíndice 1 igual abrir paréntesis menos fracción a entre 2 más raíz cuadrada de fracción a al cuadrado entre 4 más fracción p al cubo entre 27 fin raíz cerrar paréntesis elevado a inclinada 1 tercio fin elevado más abrir paréntesis menos fracción a entre 2 menos raíz cuadrada de fracción a al cuadrado entre 2 más fracción p al cubo entre 27 fin raíz cerrar paréntesis elevado a inclinada 1 tercio fin elevado

 

De esta forma obtenemos la primera solución (raíz de la ecuación). Pero al ser una ecuación de tercer grado significa que tiene 3 soluciones por lo que vamos a calcular las otras 2 soluciones.

Para encontrar las otras 2 soluciones se divide la ecuación cúbica reducida entre z – z1. La división es exacta ya que z1 es solución de z3 + pz + q = 0.

Dividiendo:

fracción numerador z al cubo más p z más a entre denominador z menos z subíndice 1 fin fracción igual z al cuadrado más z subíndice 1 z más abrir paréntesis abrir paréntesis z subíndice 1 cerrar paréntesis al cuadrado más p cerrar paréntesis

z al cubo más p z más q igual abrir paréntesis z menos z subíndice 1 cerrar paréntesis producto asterisco abrir paréntesis z al cuadrado más z subíndice 1 z más abrir paréntesis abrir paréntesis z subíndice 1 cerrar paréntesis al cuadrado más p cerrar paréntesis cerrar paréntesis

abrir paréntesis z menos z subíndice 1 cerrar paréntesis producto asterisco abrir paréntesis z al cuadrado más z subíndice 1 z más abrir paréntesis abrir paréntesis z subíndice 1 cerrar paréntesis al cuadrado más p cerrar paréntesis cerrar paréntesis igual 0

 

 

Una multiplicación es igual a 0 cuando cualquiera de los factores es igual a 0:

Del primer factor sabemos que si z = z1 la ecuación vale cero.

Si igualamos el segundo factor a 0:

z2 + z1z + (z12 + p) = 0

 

Es una ecuación de segundo grado con las siguientes soluciones:

z subíndice 2 igual menos fracción z subíndice 1 entre 2 más raíz cuadrada de abrir paréntesis fracción z subíndice 1 entre 2 cerrar paréntesis al cuadrado fin raíz más fracción a entre z subíndice 1

z subíndice 3 igual menos fracción z subíndice 1 entre 2 menos raíz cuadrada de abrir paréntesis fracción z subíndice 1 entre 2 cerrar paréntesis al cuadrado más fracción a entre z subíndice 1 fin raíz

 

Con lo que ya tendríamos las 3 soluciones de la ecuación:

z subíndice 1 igual abrir paréntesis menos fracción a entre 2 más raíz cuadrada de fracción a al cuadrado entre 4 más fracción p al cubo entre 27 fin raíz cerrar paréntesis elevado a inclinada 1 tercio fin elevado más abrir paréntesis menos fracción a entre 2 menos raíz cuadrada de fracción a al cuadrado entre 4 más fracción p al cubo entre 27 fin raíz cerrar paréntesis elevado a inclinada 1 tercio fin elevado

z subíndice 2 igual menos fracción z subíndice 1 entre 2 más raíz cuadrada de abrir paréntesis fracción z subíndice 1 entre 2 cerrar paréntesis al cuadrado más fracción a entre z subíndice 1 fin raíz

z subíndice 3 igual menos fracción z subíndice 1 entre 2 menos raíz cuadrada de abrir paréntesis fracción z subíndice 1 entre 2 cerrar paréntesis al cuadrado fin raíz más fracción a entre z subíndice 1

 

A partir de estas tres soluciones tenemos que calcular las soluciones “x” de la ecuación inicial. Tenemos que:

x igual z menos fracción j entre 3

Luego:

x subíndice 1 igual z subíndice 1 menos fracción j entre 3

x subíndice 2 igual z subíndice 2 menos fracción j entre 3

x subíndice 3 igual z subíndice 3 menos fracción j entre 3

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