Ejercicios

Veamos diversos ejemplos:

1er ejemplo

Esta ecuación se podría resolver por Ruffini, pero vamos a resolverla aplicando el método de Cardano.

2x³ + 5x² + 4x + 1 = 0

Sustituimos los coeficientes:

La ecuación queda definida:

x³ + jx² + kx + l = 0

x³ + 2,5x² + 2x + 0,5 = 0

Realizamos las siguientes sustituciones:

Hacemos un cambio de variable:

La ecuación inicial queda:

z³ + pz + q = 0

z³ – 0,833*z – 0,0093 = 0

Calculamos las tres soluciones de esta ecuación:

1ª solución:

2ª solución:

3ª solución:

Ya tenemos las 3 soluciones de la ecuación cúbica reducida; las 3 raíces de las que 2 son iguales. Ahora tenemos que calcular las soluciones de la ecuación inicial aplicando la conversión:

Calculamos x₁, x₂ y x₃, que son las soluciones de la ecuación inicial de tercer grado:

Por tanto, la ecuación 2x³ + 5x² + 4x + 1 = 0 tiene 3 raíces reales de las que 2 son iguales entre sí. Esto lo podríamos haber sabido calculando el radicando:

Faltaría por comprobar que las 3 raíces calculadas cumplen la igualdad de la ecuación inicial:

2x³ + 5x² + 4x + 1 = 0

1ª solución: x₁ = -0,5

2*(-0,5)³ + 5*(-0,5)² + 4*(-0,5) + 1 = 0

0 = 0

2ª y 3ª solución: x₂ yx₃ = -1

2*(-1)³ + 5*(-1)² + 4*(-1) + 1 = 0

0 = 0

Para terminar, vamos a presentar un gráfico de la función donde se puede observar cómo la gráfica corta dos veces el eje de abscisas.

2º ejemplo

x³ - 3x² + 2x - 5 = 0

En primer lugar comprobamos que no la podemos resolver aplicando la Regla de Ruffini (no encontramos ninguna raíz que sea un número entero) por lo que aplicamos el método de Cardano.

Sustituimos los coeficientes:

La ecuación queda definida:

Realizamos las siguientes sustituciones:

Hacemos un cambio de variable: 

La ecuación inicial queda:

Calculamos las tres soluciones de esta ecuación:

1ª solución:

2ª solución:

3ª solución:

Ya tenemos las 3 soluciones de la ecuación cúbica reducida: hay una raíz real y dos raíces complejas. Ahora tenemos que calcular las soluciones de la ecuación inicial aplicando la conversión:

x = z + 1

Calculamos x1, x2 y x3, que son las soluciones de la ecuación inicial de tercer grado.

x1 = z1 + 1 = 2.9042

x2 = z2 + 1 = 0,0479 + 1,3112 * i

x3 = z3 + 1 = 0,0479 - 1,3112 * i

Por tanto, la ecuación  tiene 1 raíz real y dos raíces complejas. Esto lo podríamos haber sabido calculando el radicando:

Faltaría por comprobar que la raíz real calculada cumple la igualdad de la ecuación inicial:

Solución: 

Para terminar, vamos a presentar un gráfico de la función donde se puede observar como la gráfica corta tan solo una vez al el eje de abscisas.

3er ejemplo

En primer lugar comprobamos que no la podemos resolver aplicando la Regla de Ruffini (no encontramos ninguna raíz que sea un número entero) por lo que aplicamos el método de Cardano.

Sustituimos los coeficientes:

La ecuación queda definida:

Realizamos las siguientes sustituciones:

Hacemos un cambio de variable:

La ecuación inicial queda:

Calculamos las tres soluciones de esta ecuación:

1ª solución:

2ª solución:

3ª solución:

Ya tenemos las 3 soluciones de la ecuación cúbica reducida: hay una raíz real y dos raíces complejas. Ahora tenemos que calcular las soluciones de la ecuación inicial aplicando la conversión:

Calculamos x1, x2 y x3, que son las soluciones de la ecuación inicial de tercer grado.

Por tanto, la ecuación  tiene 1 raíz real y dos raíces complejas. Esto lo podríamos haber sabido calculando el radicando:

Faltaría por comprobar que la raíz real calculada cumple la igualdad de la ecuación inicial:

Solución: 

Para terminar, vamos a presentar un gráfico de la función donde se puede observar como la gráfica tan sólo corta una vez el eje de abscisas (por lo tanto tan sólo tiene una raíza real), y se puede ver como el corte se produce en un valor de x negativo.

4º ejemplo

Comenzamos operando con la ecuación para escribirla en su forma canónica. Para ello pasamos todos los términos al miembro de la izquierda y los ordenamos de mayor a menor grado.

Como faltaba el término de 2º grado lo hemos incluido con coeficiente 0.

En primer lugar tratamos de resolverla aplicando la Regla de Ruffini pero no encontramos ninguna raíz que sea un número entero. Por lo tanto procedemos a aplicar el método de Cardano:

Sustituimos los coeficientes:

Calculamos las tres soluciones de esta ecuación:

1° Solución

2° Solución

3° Solución

Ya tenemos las 3 soluciones de la ecuación cúbica reducida: hay una raíz real y dos raíces complejas. Ahora tenemos que calcular las soluciones de la ecuación inicial aplicando la conversión:

x = z

Calculamos x1, x2 y x3, que son las soluciones de la ecuación inicial de tercer grado.

Por tanto, la ecuación  tiene 1 raíz real y dos raíces complejas. Esto lo podríamos haber sabido calculando el radicando:

Faltaría por comprobar que la raíz real calculada cumple la igualdad de la ecuación inicial:

1ª solución:

Para terminar, vamos a presentar un gráfico de la función donde se puede observar como la gráfica tan sólo corta una vez el eje de abscisas (por lo tanto tan sólo tiene una raíz real), y se puede ver como el corte se produce en un valor de x positivo.

5º ejemplo

En este ejemplo vamos a aplicar el método Cardano al primer ejemplo que analizamos con la Regla de Ruffini.

Sustituimos los coeficientes:

Calculamos las tres soluciones de esta ecuación:

1ª solución:

Las raíces cuadradas de números negativos no tienen solución en el conjunto de los números reales. Se produce la paradoja de que esta ecuación, que tiene 3 soluciones reales tal como vimos al aplicar la Regla de Ruffini, no se puede resolver mediante el método de Cardano.

Esta situación se denomina “caso irreducible” y se produce cuando en la solución de la raíz z1:

Ya que al ser negativo el radicando de una raíz cuadrada no se puede resolver en el conjunto de los números reales, usaremos otro método en la lección siguiente.