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martes, 14 agosto 2018 español
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Ejercicios

Veamos diversos ejemplos:

1er ejemplo

Esta ecuación se podría resolver por Ruffini, pero vamos a resolverla aplicando el método de Cardano.

2x3 + 5x2 + 4x + 1 = 0

Sustituimos los coeficientes:

j igual fracción b entre a igual fracción 5 entre 2 igual 2.5

k igual fracción c entre a igual fracción 4 entre 2 igual 2

l igual fracción d entre a igual 1 medio igual 0.5

 

La ecuación queda definida:

x3 + jx2 + kx + l = 0

x3 + 2,5x2 + 2x + 0,5 = 0

 

Realizamos las siguientes sustituciones:

p igual menos fracción j al cuadrado entre 3 más k igual menos fracción numerador 2.5 al cuadrado entre denominador 3 fin fracción más 2 igual menos 0.0833

q igual más fracción numerador 2 j al cubo entre denominador 27 fin fracción menos fracción numerador k j entre denominador 3 fin fracción más 1 igual más fracción numerador 2 producto asterisco 2.5 al cubo entre denominador 27 fin fracción menos fracción numerador 2 producto asterisco 2.5 entre denominador 3 fin fracción más 0.5 igual menos 0.0093

 

Hacemos un cambio de variable:

x igual z menos fracción j entre 3 igual z menos fracción numerador 2.5 entre denominador 3 fin fracción

 

La ecuación inicial queda:

z3 + pz + q = 0

z3 – 0,833*z – 0,0093 = 0

 

Calculamos las tres soluciones de esta ecuación:

1ª solución:

z subíndice 1 igual abrir paréntesis menos fracción a entre 2 más raíz cuadrada de fracción a al cuadrado entre 4 más fracción p al cubo entre 27 fin raíz cerrar paréntesis elevado a inclinada 1 tercio fin elevado más abrir paréntesis menos fracción a entre 2 menos raíz cuadrada de fracción a al cuadrado entre 2 más fracción p al cubo entre 27 fin raíz cerrar paréntesis elevado a inclinada 1 tercio fin elevado

z subíndice 1 igual abrir paréntesis más fracción numerador 0.0093 entre denominador 2 fin fracción más raíz cuadrada de fracción abrir paréntesis menos 0.0093 cerrar paréntesis al cuadrado entre 4 más fracción abrir paréntesis menos 0.0833 cerrar paréntesis al cubo entre 27 fin raíz cerrar paréntesis elevado a inclinada 1 tercio fin elevado más abrir paréntesis más fracción numerador 0.0093 entre denominador 2 fin fracción menos raíz cuadrada de fracción abrir paréntesis menos 0.0093 cerrar paréntesis al cuadrado entre 4 más fracción abrir paréntesis menos 0.0833 cerrar paréntesis al cubo entre 27 fin raíz cerrar paréntesis elevado a inclinada 1 tercio fin elevado

z subíndice 1 igual abrir paréntesis 0.0046 más raíz cuadrada de 0.0000 fin raíz cerrar paréntesis elevado a inclinada 1 tercio fin elevado más abrir paréntesis 0.0046 menos raíz cuadrada de 0.0000 fin raíz cerrar paréntesis elevado a inclinada 1 tercio fin elevado igual 0.3333

 

2ª solución:

z subíndice 2 igual menos fracción z subíndice 1 entre 2 más raíz cuadrada de abrir paréntesis fracción z subíndice 1 entre 2 cerrar paréntesis al cuadrado más fracción a entre z subíndice 1 fin raíz

z subíndice 2 igual menos fracción numerador 0.3333 entre denominador 2 fin fracción más raíz cuadrada de abrir paréntesis fracción numerador 0.3333 entre denominador 2 fin fracción cerrar paréntesis al cuadrado menos fracción numerador 0.0093 entre denominador 0.3333 fin fracción fin raíz

z subíndice 2 igual menos 0.1667 más raíz cuadrada de 0.0000 fin raíz igual menos 0.1667

 

3ª solución:

z subíndice 3 igual menos fracción z subíndice 1 entre 2 menos raíz cuadrada de abrir paréntesis fracción z subíndice 1 entre 2 cerrar paréntesis al cuadrado más fracción a entre z subíndice 1 fin raíz

z subíndice 3 igual menos fracción numerador 0.3333 entre denominador 2 fin fracción menos raíz cuadrada de abrir paréntesis fracción numerador 0.3333 entre denominador 2 fin fracción cerrar paréntesis al cuadrado fin raíz menos fracción numerador 0.0093 entre denominador 0.3333 fin fracción

z subíndice 3 igual menos 0.1667 menos raíz cuadrada de 0.0000 fin raíz igual menos 0.1667

Ya tenemos las 3 soluciones de la ecuación cúbica reducida; las 3 raíces de las que 2 son iguales. Ahora tenemos que calcular las soluciones de la ecuación inicial aplicando la conversión:

x igual z menos fracción numerador 2.5 entre denominador 3 fin fracción

 

Calculamos x1, x2 y x3, que son las soluciones de la ecuación inicial de tercer grado:

x subíndice 1 igual z subíndice 1 menos fracción numerador 2.5 entre denominador 3 fin fracción igual menos 0.5

x subíndice 2 igual z subíndice 2 menos fracción numerador 2.5 entre denominador 3 fin fracción igual menos 1

x subíndice 3 igual z subíndice 3 menos fracción numerador 2.5 entre denominador 3 fin fracción igual menos 1

 

Por tanto, la ecuación 2x3 + 5x2 + 4x + 1 = 0 tiene 3 raíces reales de las que 2 son iguales entre sí. Esto lo podríamos haber sabido calculando el radicando:

fracción a al cuadrado entre 4 más fracción p al cubo entre 27 igual 0.0000

Faltaría por comprobar que las 3 raíces calculadas cumplen la igualdad de la ecuación inicial:

2x3 + 5x2 + 4x + 1 = 0

 

1ª solución: x1 = -0,5

2*(-0,5)3 + 5*(-0,5)2 + 4*(-0,5) + 1 = 0

0 = 0

 

2ª y 3ª solución: x2 yx3 = -1

2*(-1)3 + 5*(-1)2 + 4*(-1) + 1 = 0

0 = 0

 

Para terminar, vamos a presentar un gráfico de la función donde se puede observar cómo la gráfica corta dos veces el eje de abscisas.

ejemplo cardano 1

2º ejemplo

x3 - 3x2 + 2x - 5 = 0

En primer lugar comprobamos que no la podemos resolver aplicando la Regla de Ruffini (no encontramos ninguna raíz que sea un número entero) por lo que aplicamos el método de Cardano.

Sustituimos los coeficientes:

ejerc1

 

La ecuación queda definida:

ejerc2

 

Realizamos las siguientes sustituciones:

ejerc3

 

Hacemos un cambio de variable: 

ec1

 

La ecuación inicial queda:

ec2

 

Calculamos las tres soluciones de esta ecuación:

1ª solución:

ec3

 

2ª solución:

ec4

 

3ª solución:

ec5

ec6

Ya tenemos las 3 soluciones de la ecuación cúbica reducida: hay una raíz real y dos raíces complejas. Ahora tenemos que calcular las soluciones de la ecuación inicial aplicando la conversión:

x = z + 1

 

Calculamos x1, x2 y x3, que son las soluciones de la ecuación inicial de tercer grado.

x1 = z1 + 1 = 2.9042

x2 = z2 + 1 = 0,0479 + 1,3112 * i

x3 = z3 + 1 = 0,0479 - 1,3112 * i

 

Por tanto, la ecuación ec7 tiene 1 raíz real y dos raíces complejas. Esto lo podríamos haber sabido calculando el radicando:

ec8

 

Faltaría por comprobar que la raíz real calculada cumple la igualdad de la ecuación inicial:

ec9

 

Solución: ec10

ec11

Para terminar, vamos a presentar un gráfico de la función donde se puede observar como la gráfica corta tan solo una vez al el eje de abscisas.

tabla12

3er ejemplo

ec13

En primer lugar comprobamos que no la podemos resolver aplicando la Regla de Ruffini (no encontramos ninguna raíz que sea un número entero) por lo que aplicamos el método de Cardano.

Sustituimos los coeficientes:

ec14

 

La ecuación queda definida:

ec15

 

Realizamos las siguientes sustituciones:

ec16

 

Hacemos un cambio de variable:

ec17

 

La ecuación inicial queda:

ec18

 

Calculamos las tres soluciones de esta ecuación:

1ª solución:

ec19

 

2ª solución:

ec20

ec21

 

3ª solución:

ec22

 

Ya tenemos las 3 soluciones de la ecuación cúbica reducida: hay una raíz real y dos raíces complejas. Ahora tenemos que calcular las soluciones de la ecuación inicial aplicando la conversión:

ec23

 

Calculamos x1, x2 y x3, que son las soluciones de la ecuación inicial de tercer grado.

ec24

 

Por tanto, la ecuación ec25 tiene 1 raíz real y dos raíces complejas. Esto lo podríamos haber sabido calculando el radicando:

ec26

 

Faltaría por comprobar que la raíz real calculada cumple la igualdad de la ecuación inicial:

ec27

 

Solución: ec28

ec29

 

Para terminar, vamos a presentar un gráfico de la función donde se puede observar como la gráfica tan sólo corta una vez el eje de abscisas (por lo tanto tan sólo tiene una raíza real), y se puede ver como el corte se produce en un valor de x negativo.

 

tabla 13

4º ejemplo

ec31

Comenzamos operando con la ecuación para escribirla en su forma canónica. Para ello pasamos todos los términos al miembro de la izquierda y los ordenamos de mayor a menor grado.

ec32

Como faltaba el término de 2º grado lo hemos incluido con coeficiente 0.

En primer lugar tratamos de resolverla aplicando la Regla de Ruffini pero no encontramos ninguna raíz que sea un número entero. Por lo tanto procedemos a aplicar el método de Cardano:

Sustituimos los coeficientes:

ec33

ec34

 

Calculamos las tres soluciones de esta ecuación:

1° Solución

ecua121

 

2° Solución

ecuac1222

 

3° Solución

ecuaci123

 

Ya tenemos las 3 soluciones de la ecuación cúbica reducida: hay una raíz real y dos raíces complejas. Ahora tenemos que calcular las soluciones de la ecuación inicial aplicando la conversión:

x = z

 

Calculamos x1, x2 y x3, que son las soluciones de la ecuación inicial de tercer grado.

ec36

ec37

 

Por tanto, la ecuación ec38 tiene 1 raíz real y dos raíces complejas. Esto lo podríamos haber sabido calculando el radicando:

ec39

 

Faltaría por comprobar que la raíz real calculada cumple la igualdad de la ecuación inicial:

ec39

 

1ª solución:ec41

ec42

Para terminar, vamos a presentar un gráfico de la función donde se puede observar como la gráfica tan sólo corta una vez el eje de abscisas (por lo tanto tan sólo tiene una raíz real), y se puede ver como el corte se produce en un valor de x positivo.

tabla 14

5º ejemplo

ec44

En este ejemplo vamos a aplicar el método Cardano al primer ejemplo que analizamos con la Regla de Ruffini.

Sustituimos los coeficientes:

ec45

ec46

 

Calculamos las tres soluciones de esta ecuación:

1ª solución:

ec47

Las raíces cuadradas de números negativos no tienen solución en el conjunto de los números reales. Se produce la paradoja de que esta ecuación, que tiene 3 soluciones reales tal como vimos al aplicar la Regla de Ruffini, no se puede resolver mediante el método de Cardano.

Esta situación se denomina “caso irreducible” y se produce cuando en la solución de la raíz z1:

ec48

Ya que al ser negativo el radicando de una raíz cuadrada no se puede resolver en el conjunto de los números reales, usaremos otro método en la lección siguiente.

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