Fórmula de Moivre

Para solucionar esta situación aplicamos la fórmula de Moivre:

Calcula un ángulo “α” (medido en radianes), cuyo coseno:

ec49

Luego:

ec50

 

Las raíces de la ecuación son:

ec51

 

Las raíces de la ecuación son:

1ª raíz:

ec52

 

2ª raíz:

ec53

ec54

 

 

3ª raíz:

ec55

 

Ya tenemos las 3 soluciones de la ecuación cúbica reducida: las 3 raíces son reales. Ahora tenemos que calcular las soluciones de la ecuación inicial aplicando la conversión:

x = z - 1

 

Calculamos x1, x2 y x3, que son las soluciones de la ecuación inicial de tercer grado.

ec56

Podemos comprobar como coinciden con las raíces que calculamos al aplicar la Regla de Ruffini.

 

 

6º ejemplo

ec57

En este ejemplo vamos a aplicar el método Cardano al segundo ejemplo que analizamos con la Regla de Ruffini.

Sustituimos los coeficientes:

ec58

ec59

 

Hacemos un cambio de variable:

ec60

 

Calculamos las tres soluciones de esta ecuación:

1ª Solución:

ec61

 

Las raíces cuadradas de números negativos no tienen solución en el conjunto de los números reales. Al igual que en el ejemplo anterior se produce la paradoja de que esta ecuación, que vimos que tenía 3 soluciones reales al aplicar la Regla de Ruffini, no se puede solucionar mediante el método Cardano.

Vamos a aplicar la fórmula de Moivre: calculamos:

ecuac124

 

Las raíces de la ecuación son:

1° Raíz:

ecua125

 

2° Raíz

ecuac126

 

3° Raíz

ecuac127

 

 

 

Ya tenemos las 3 soluciones de la ecuación cúbica reducida: las 3 raíces son reales. Ahora tenemos que calcular las soluciones de la ecuación inicial aplicando la conversión:

x = z + 0,1666

 

Calculamos x1, x2 y x3, que son las soluciones de la ecuación inicial de tercer grado.

ec64

 

 

7º ejemplo

ec65

 

Reordenamos la ecuación, pasando todos sus términos al miembro de la izquierda y ordenando los términos de mayor a menor grado. La ecuación quedaría:

ec66

Podemos comprobar como coinciden con las raíces que calculamos al aplicar la Regla de Ruffini.

Sustituimos los coeficientes:

ec67

 

La ecuación queda definida:

ec68

 

Calculamos las tres soluciones de esta ecuación:

1ª Solución:

ec69

 

 

Las raíces cuadradas de números negativos no tienen solución en el conjunto de los números reales.

Vamos a aplicar la fórmula de Moivre: Calculamos:

ec70

 

 

Las raíces de la ecuación son:

1ª raíz:

ec71

ecuac128

 

 

2° Raíz

ecua129

 

3° Raíz

ecua130

 

Ya tenemos las 3 soluciones de la ecuación cúbica reducida: las 3 raíces son reales. Ahora tenemos que calcular las soluciones de la ecuación inicial aplicando la conversión:

x = z + 1

 

Calculamos x1, x2 y x3, que son las soluciones de la ecuación inicial de tercer grado.

ec73

 

Podemos comprobar como coinciden con las raíces que calculamos al aplicar la Regla de Ruffini.

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