Ecuaciones de cuarto grado

Su forma canónica es:

ec74

Si algunas de la raíces es un número entero, estas ecuaciones las podremos resolver aplicando la Regla de Ruffini; descomponemos el polinomio en el producto de un factor de primer grado por un factor de tercer grado (que podremos seguir descomponiendo aplicando nuevamente la Regla de Ruffini o, si esto no fuera posible, resolver aplicando el sistema de resolución de ecuaciones de tercer grado).

ec75

Veamos un par de ejemplos:

 

1er ejemplo

ec76

Vamos a escribirla en forma canónica, para ello pasamos todos los términos al miembro de la izquierda y los escribimos de mayor a menor grado.

EC77

 

Aplicamos la Regla de Ruffini: probamos con aquellos valores enteros que sean divisores de 9: ec78

rufini1

 

Vemos que cuando x1 = -1 el resto es 0 por lo que es una raíz de esta ecuación, la cual se puede escribir:

ec79

Vamos a tratar de continuar aplicando la Regla de Ruffini con el segundo factor ec81

rufini2

 

Por lo tanto, nuevamente cuando x2 = -1 el resto es 0 por lo que es una raíz de esta ecuación.

 

ecuac131

 

Continuamos aplicando la Regla de Ruffini con el tercer factor:

ecua132

 

Cuando ecua133 el resto es 0 por lo que es también raíz de esta ecuación.

ecua134

 

Igualando a 0 el cuarto factor obtendríamos la 4° raíz:

ecua135

 

Hemos calculado ya las 4 raíces de la ecuación:

 ecuac136

 

     ec84

 

Por último vamos a comprobar que estas cuatro raíces hacen cumplir la igualdad de la ecuación inicial:

ec85

 

2º ejemplo

(Excel_EGSA2: Hoja 20)

ec86

En primer lugar la escribimos en su forma canónica, incluyendo el término de primer grado que falta:

ec86

Aplicamos la Regla de Ruffini:

ec87

 

Cuando x1 = 1 el resto es 0 por lo que es una raíz de esta ecuación, la cual se puede escribir:

ec88

 

Continuamos aplicando la Regla de Ruffini:

ec89

 

Por lo tanto, nuevamente cuando x2 = -2 el resto es 0 por lo que es una raíz de esta ecuación.

ec90

 

Seguimos aplicando Ruffini con el tercer factor pero no encontramos ningún valor, divisor de 2, que haga que el resto sea 0.

Por lo tanto hemos descompuesto la ecuación en 3 factores, 2 de primer grado (conocemos ya la raíces, x1 = 1 y x2 = -2) y un factor de segundo grado. Para hallar la tercera y la cuarta raíz igualamos este tercer factor a 0 y lo resolvemos aplicando el método de resolución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

ec91

 

Hemos calculado ya las 4 raíces de la ecuación:

x1 = 1

x2 = -2

x3 = 1,2808

x4 = -0,7808

 

Por último vamos a comprobar que estas cuatro raíces hacen cumplir la igualdad de la ecuación inicial:

ec92

 

 

3er ejemplo

ec93

 

Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini. Vamos probando con aquellos valores que sean divisores del término independiente: ±1, ±2

(Excel_EGSA2: Hoja 2)

El resto es 0 por lo que x0 = 1 es una raíz de la ecuación.

Por lo tanto podemos descomponer la ecuación anterior en:

ec94

 

Vamos a tratar seguir descomponiendo la ecuación ec95 aplicando la regla de Ruffini. Probamos con aquellos valores que sean divisores del término independiente: ±1, ±2 pero tras probar no obtenemos en ningún caso un resto 0 por lo que no podemos continuar con esta descomposición.

 

El factor (ec953) lo podemos igualar a 0 y calcularle sus raíces tal como vimos anteriormente.

 

Los coeficientes son:

a = 2

b = -1

c = 1

d = -2

 

 

Calculamos j, k y l:

j = b / a = -1 / 2 = -0,5

k = c / a = 1 / 2 = 0,5

l = d / a = -2 / 2 = -1

 

 

Calculamos p y q:

ec96

 

 

La ecuación inicial queda:

ec97

 

 

Ya podemos calcular las distintas raíces:

ec98

 

 

Procedemos a calcular los valores de x que son raíces de la ecuación:

ec99

 

 

Por lo tanto hemos calculado 2 raíces de la ecuación que son iguales:

x0 = 1

x1 = 1

 

 

Vamos a verificar que cumple la igualdad de la ecuación:

ec100

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