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domingo, 19 agosto 2018 español
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Ejercicios

A continuación veremos diferentes ejemplos de ecuaciones de tercer grado resueltas mediante la Regla de Ruffini:

1er ejemplo

x3 + 3x2 - 2x - 2 = 0

Vamos a probar con aquellos valores que sean divisores del término independiente “2”: ±1 y ±2

ejercicio rufini 1

Vemos que el resto es 0 por lo que x = 1 es una raíz de esta ecuación, la cual se puede escribir:

x3 + 3x2 - 2x - 2 = (x – 1) * (x2 + 4x + 2)

 

Atención: como el valor de la raíz es p = 1, el primer factor de la descomposición es (x – p), es decir (x – 1).

Vemos si el segundo factor (x2 + 4x + 2) se puede seguir descomponiendo. Aplicamos nuevamente la Regla de Ruffini probando con aquellos valores que sean divisores del término independiente “2”: ±1 y ±2 pero no encontramos ninguna raíz exacta por lo que no podemos seguir descomponiendo la ecuación.

Por lo tanto la ecuación inicial la hemos conseguido descomponer en un factor de primer grado (x – 1) y otro de segundo grado (x2 + 4x + 2).

x3 + 3x2 - 2x - 2 = (x – 1) * (x2 + 4x + 2)

 

Para que la ecuación sea igual a cero basta con que algunos de los factores (x – 1) o (x2 + 4x + 2) sea igual a cero. Vamos a igualar cada uno de estos factores a cero y el valor de “x” que lo cumpla será solución de la ecuación.

a) x – 1 = 0

x1 = 1

 

b) x2 + 4x + 2 = 0

La resolvemos aplicando el método de resolución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

1ª solución: x2fracción numerador menos b más raíz cuadrada de b al cuadrado menos 4 a c fin raíz entre denominador 2 a fin fracción igual fracción numerador menos 4 más raíz cuadrada de 4 al cuadrado menos 4 producto asterisco 1 producto asterisco 2 fin raíz entre denominador 2 producto asterisco 1 fin fracción igual o.5857

2ª solución: x3 =fracción numerador menos b menos raíz cuadrada de b al cuadrado menos 4 a c fin raíz entre denominador 2 a fin fracción igual fracción numerador menos 4 menos raíz cuadrada de 4 al cuadrado 4 producto asterisco 1 producto asterisco 2 fin raíz entre denominador 2 producto asterisco 1 fin fracción igual menos 3.4142

 

Hemos calculado por tanto 3 raíces reales:

x1 = 1

x2 = -0,5857

x3 = -3,4142

 

Una vez calculadas las raíces es importante verificar siempre que cumplen la igualdad de la ecuación ya que esto nos permitirá localizar errores:

 x3 + 3x2 - 2x - 2 = 0

1ª raíz: x1 = 1 

(1)3 + 3*(1)2 – 2*(1) - 2 = 0

0 = 0

 

2ª raíz: x1 = -0,5857

(-0,5857)3 + 3*(-0,5857)2 – 2*(-0,5857) - 2 = 0

0 = 0

 

3ª raíz: x1 = -3,4142

(-3,4142)3 + 3*(-3,4142)2 – 2*(-3,4142) - 2 = 0

0 = 0

 

 

2º ejemplo

4x3 - 2x2 - 4x + 2 = 0

Vamos probando con aquellos valores que sean divisores del término independiente “2”: ±1 y ±2

ejemplo 2 rufini

 

Vemos que el resto es 0 por o que x = 1 es una raíz de esta ecuación, que podemos escribir:

4x3 - 2x2 - 4x + 2 = (x – 1) * (4x2 + 2x - 2)

 

Vamos a ver si el segundo factor (4x2 + 2x - 2) se puede seguir descomponiendo. Aplicando nuevamente la Regla de Ruffini probamos con aquellos valores que sean divisores del término independiente “2”: ±1 y ±2

rufini 2-1

 

El segundo factor se puede descomponer:

4x2 + 2x – 2 = (x + 1) * (4x – 2)

La ecuación inicial:

4x3 - 2x2 - 4x + 2 = 0

Se puede descomponer:

4x3 - 2x2 - 4x + 2 = (x – 1) * (x + 1) * (4x – 2)

Por lo tanto:

(x – 1) * (x + 1) * (4x – 2) = 0

 

Sabemos que un producto es igual a 0 cuando cualquiera de sus factores es igual a 0. Vamos igualando cada factor a 0 para calcular las raíces:

1ª raíz

x – 1 = 0

x1 = 1

2ª raíz

x + 1 = 0

x2 = -1

3ª raíz

4x – 2= 0

4x = 2

x3 = 2 / 4

x3 = 0,5

 

Hemos calculado por tanto 3 raíces reales. Vamos a verificar que cumplen la igualdad de la ecuación:

4x3 - 2x2 - 4x + 2 = 0

 

1ª raíz: x1 = 1

4*(1)3 – 2*(1)2 – 4*(1) + 2 = 0

0 = 0

2ª raíz: x2 = -1

4*(-1)3 – 2*(-1)2 – 4*(-1) + 2 = 0

0 = 0

3ª raíz: x3 = 0,5

4*(0,5)3 – 2*(0,5)2 – 4*(0,5) + 2 = 0

0 = 0

 

 

3er ejemplo

x3 - 3x2 = 4x - 6

Lo primero que tenemos que hacer es escribirla en forma canónica:

x3 - 3x2 - 4x + 6 = 0

Vamos probando con aquellos valores que sean divisores del término independiente “2”: ±1, ±2 y ±3

ejemplo rufini 3

Por lo tanto:

x3 - 3x2 - 4x + 6 = (x – 1) * (x2 - 2x - 6)

 

Vemos si el segundo factor también se puede descomponer. Aplicando la Regla de Ruffini no encontramos ninguna raíz exacta por lo que habríamos terminado la descomposición de la ecuación en una ecuación de primer grado (x – 1) y otra de segundo grado (x2 - 2x - 6).

Un producto es igual a 0 cuando cualquiera de sus factores es igual a 0. Vamos igualando cada factor a 0 para calcular las raíces:

1ª raíz:

x – 1 = 0

x1 = 1

 

2ª y 3ª raíz:

x2 - 2x – 6 = 0

 

Calculamos:

1ª solución: x2fracción numerador menos b más raíz cuadrada de b al cuadrado menos 4 a c fin raíz entre denominador 2 a fin fracción igual fracción numerador 2 más raíz cuadrada de abrir paréntesis menos 2 cerrar paréntesis al cuadrado menos 4 producto asterisco 1 producto asterisco abrir paréntesis menos 6 cerrar paréntesis fin raíz entre denominador 2 producto asterisco 1 fin fracción igual 3.646

2ª solución: x3 =fracción numerador menos b menos raíz cuadrada de b al cuadrado menos 4 a c fin raíz entre denominador 2 a fin fracción igual fracción numerador 2 menos raíz cuadrada de abrir paréntesis menos 2 cerrar paréntesis al cuadrado menos 4 producto asterisco 1 abrir paréntesis menos 6 cerrar paréntesis fin raíz entre denominador 2 producto asterisco 1 fin fracción igual menos 1.646

Hemos calculado por tanto 3 raíces reales. Vamos a verificar que cumplen la igualdad de la ecuación:

x3 - 3x2 = 4x - 6

1ª raíz: x1 = 1

(1)3 – 3*(1)2 = 4*(1) - 6

-2 = -2

2ª raíz: x2 = 3,646

4*(3,646)3 – 2*(3,646)2 – 4*(3,646) + 2 = 0

8,583 = 8,583

 

3ª raíz: x3 = -1,646

4*(-1,646)3 – 2*(-1,646)2 – 4*(-1,646) + 2 = 0

-12,58 = -12,58

 

 

4º ejemplo

x3 + 2x2 = 3

 

Lo primero que hacemos es escribirla en forma canónica:

x3 + 2x2 – 3 = 0

 

Se trata de una ecuación incompleta (falta el término con grado 1) pero podemos aplicar la Regla de Ruffini. Para ello la escribimos con todos los términos (al término que falta le ponemos coeficiente 0).

x3 + 2x2 + 0x – 3 = 0

 

Vamos probando con aquellos valores que sean divisores del término independiente “3”: ±1 y ±3

rufini 4

Por lo tanto:

x3 + 2x2 + 0x – 3 = (x – 1) * (x2 + 3x + 3)

 

Vemos si el segundo factor también se puede descomponer. Aplicando la Regla de Ruffini no encontramos ninguna raíz exacta por lo que habríamos terminado la descomposición de la ecuación en una ecuación de primer grado (x – 1) y otra de segundo grado (x2 + 3x + 3).

Un producto es igual a 0 cuando cualquiera de sus factores es igual a 0. Vamos igualando cada factor a 0 para calcular las raíces:

1ª raíz:

x – 1 = 0

x1 = 1

2ª y 3ª raíz:

x2 + 3x + 3 = 0

 

Calculamos:

2ª solución: x2fracción numerador menos b más raíz cuadrada de b al cuadrado menos 4 a c fin raíz entre denominador 2 a fin fracción igual fracción numerador menos 3 más raíz cuadrada de abrir paréntesis 3 cerrar paréntesis al cuadrado fin raíz menos 4 producto asterisco 1 producto asterisco abrir paréntesis 3 cerrar paréntesis entre denominador 2 producto asterisco 1 fin fracción igual fracción numerador menos 3 más raíz cuadrada de menos 3 fin raíz entre denominador 2 fin fracción igual N o espacio t i e n e espacio s o l u c i ó n

en el conjunto de los número reales sino en el de los números complejos:

 

fracción numerador menos 3 más raíz cuadrada de menos 3 fin raíz entre denominador 2 fin fracción igual fracción numerador menos 3 más raíz cuadrada de 3 producto asterisco raíz cuadrada de menos 1 fin raíz entre denominador 2 fin fracción igual fracción numerador menos 3 más raíz cuadrada de 3 producto asterisco i entre denominador 2 fin fracción

 

3ª solución: x3fracción numerador menos b menos raíz cuadrada de b al cuadrado menos 4 a c fin raíz entre denominador 2 a fin fracción igual fracción numerador menos 3 menos raíz cuadrada de abrir paréntesis 3 cerrar paréntesis al cuadrado menos 4 producto asterisco 1 producto asterisco abrir paréntesis 3 cerrar paréntesis fin raíz entre denominador 2 producto asterisco 1 fin fracción igual fracción numerador menos 3 menos raíz cuadrada de menos 3 fin raíz entre denominador 2 fin fracción igual N o espacio t i e n e espacio s o l u c i ó n

en el conjunto de los número reales sino en el de los números complejos:

 

fracción numerador menos 3 menos raíz cuadrada de menos 3 fin raíz entre denominador 2 fin fracción igual fracción numerador menos 3 menos raíz cuadrada de 3 producto asterisco raíz cuadrada de menos 1 fin raíz entre denominador 2 fin fracción igual fracción numerador menos 3 menos raíz cuadrada de 3 producto asterisco i entre denominador 2 fin fracción

Hemos calculado 1 raíz real y 2 raíces complejas. Vamos a verificar que la raíz real cumple la igualdad de la ecuación:

x3 + 2x2 = 3

 

1ª raíz: x1 = 1

(1)3 + 2*(1)2 = 3

3 = 3

 

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