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1º) 3x² - 2x = -7

Pasamos todos los términos al miembro de la izquierda:

términos al miembro de la izquierda:

3x² - 2x +7 = 0

La ecuación ya tiene la forma canónica por lo que despejamos la incógnita.

$x subíndice 1 igual fracción numerador menos b más raíz cuadrada de b al cuadrado fin raíz menos 4 a c entre denominador 2 a fin fracción igual fracción numerador 2 más raíz cuadrada de abrir paréntesis menos 2 cerrar paréntesis al cuadrado fin raíz menos 4 producto asterisco 3 producto asterisco 7 entre denominador 2 producto asterisco 3 fin fracción igual fracción numerador 2 más raíz cuadrada de menos 80 fin raíz entre denominador 6 fin fracción x subíndice 2 igual fracción numerador menos b menos raíz cuadrada de b al cuadrado menos 4 a c fin raíz entre denominador 2 a fin fracción igual fracción numerador 2 menos raíz cuadrada de abrir paréntesis menos 2 cerrar paréntesis al cuadrado menos 4 producto asterisco 3 producto asterisco 7 fin raíz entre denominador 2 producto asterisco 3 fin fracción igual fracción numerador 2 menos raíz cuadrada de menos 80 fin raíz entre denominador 6 fin fracción$

En ambos casos $raíz cuadrada de menos 80 fin raíz$ no se puede resolver por lo que no se pueden calcular estas soluciones. En definitiva esta ecuación no tiene solución en el conjunto de los números reales R.

Esto lo podemos también comprobar calculando el número de soluciones de esta ecuación:

Comparamos $b al cuadrado$ y 4ac

$b al cuadrado igual abrir paréntesis menos 2 cerrar paréntesis al cuadrado igual 4$

4ac = 4 * 3 * 7 = 84

Luego $b al cuadrado menor que 4 a c$ por lo que esta ecuación no tiene solución.

2º) 5x² - 4 = -2x² – x

Pasamos todos los términos al miembro de la izquierda.

5x² - 4 + 2x² + x = 0

Simplificamos y ordenamos los términos de mayor a menor grado:

7x² + x - 4 = 0

Despejamos la incógnita:

$x subíndice 1 igual fracción numerador menos b más raíz cuadrada de b al cuadrado menos 4 a c fin raíz entre denominador 2 a fin fracción igual fracción numerador menos 1 más raíz cuadrada de abrir paréntesis 1 cerrar paréntesis al cuadrado menos 4 producto asterisco 7 producto asterisco abrir paréntesis menos 4 cerrar paréntesis fin raíz entre denominador 2 producto asterisco 7 fin fracción igual 0.6879 x subíndice 2 igual fracción numerador menos b menos raíz cuadrada de b al cuadrado menos 4 a c fin raíz entre denominador 2 a fin fracción igual fracción numerador menos 1 menos raíz cuadrada de abrir paréntesis 1 cerrar paréntesis al cuadrado menos 4 producto asterisco 7 producto asterisco abrir paréntesis menos 4 cerrar paréntesis fin raíz entre denominador 2 producto asterisco 7 fin fracción igual menos 0.8307$ $x subíndice 1 igual fracción numerador menos b más raíz cuadrada de b al cuadrado menos 4 a c fin raíz entre denominador 2 a fin fracción igual fracción numerador menos 1 más raíz cuadrada de abrir paréntesis 1 cerrar paréntesis al cuadrado menos 4 producto asterisco 7 producto asterisco abrir paréntesis menos 4 cerrar paréntesis fin raíz entre denominador 2 producto asterisco 7 fin fracción igual 0.6879 x subíndice 2 igual fracción numerador menos b menos raíz cuadrada de b al cuadrado menos 4 a c fin raíz entre denominador 2 a fin fracción igual fracción numerador menos 1 menos raíz cuadrada de abrir paréntesis 1 cerrar paréntesis al cuadrado menos 4 producto asterisco 7 producto asterisco abrir paréntesis menos 4 cerrar paréntesis fin raíz entre denominador 2 producto asterisco 7 fin fracción igual menos 0.8307$

Comprobamos en la ecuación inicial si estas soluciones hacen cumplir la igualdad.

1ª solución: x₁ = 0,6879

5x² - 4 = -2x² – x

5*(0,6879)² - 4 = -2*(0,6879)² – 0,6879

-1,6342 = -1,6342

Vemos por tanto que cumple la igualdad

2ª solución: x₂ = -0,8307

5x² - 4 = -2x² – x

5*(-0,8307)² - 4 = -2*(-0,8307)² + 0,8307

-0,5495 = -0,5495

Vemos que también cumple la igualdad

3º) 5x² = 6

Se trata de una ecuación incompleta que resolvemos:

5x² = 6

x² = 6 / 5

Esta ecuación tiene 2 soluciones:

$x subíndice 1 igual más raíz cuadrada de fracción 6 entre 5 fin raíz igual 1.0954 x subíndice 2 igual menos raíz cuadrada de fracción 6 entre 5 fin raíz igual menos 1.0954$

1ª solución: x₁ = 1,0954

5x² = 6

5*(1,0954)² = 6

6 = 6

2ª solución: x₂ = -1,0954

5x² = 6

5*(-1,0954)² = 6

6 = 6

Atención:

Las ecuaciones incompletas, tal como indicamos anteriormente, también se pueden resolver aplicando el método general. Para ello comenzamos escribiéndolas en forma canónica:

5x² = 6

Forma canónica:

5x² + 0x – 6 = 0

Despejamos la incógnita:

$x subíndice 1 igual fracción numerador menos b más raíz cuadrada de b al cuadrado menos 4 a c fin raíz entre denominador 2 a fin fracción igual fracción numerador 0 más raíz cuadrada de abrir paréntesis menos 0 cerrar paréntesis al cuadrado menos 4 producto asterisco 5 producto asterisco abrir paréntesis menos 6 cerrar paréntesis fin raíz entre denominador 2 producto asterisco 5 fin fracción igual 1.0954$

$x subíndice 2 igual fracción numerador menos b menos raíz cuadrada de b al cuadrado menos 4 a c fin raíz entre denominador 2 a fin fracción igual fracción numerador 0 menos raíz cuadrada de abrir paréntesis menos 0 cerrar paréntesis al cuadrado menos 4 producto asterisco 5 producto asterisco abrir paréntesis menos 6 cerrar paréntesis fin raíz entre denominador 2 producto asterisco 5 fin fracción igual 1.0954$

4º) 6x² - 3x = 0

Se trata de una ecuación incompleta que resolvemos:

6x² - 3x = 0

x*(6x – 3) = 0

Tiene dos soluciones:

1ª solución:

x₁ = 0

2ª solución:

6x – 3 = 0

6x = 3

x₂ = 3 / 6 = 0,5

Ahora deberíamos comprobar que estas soluciones hacen cumplir la igualdad de la ecuación:

1ª solución: x₁ = 0

6x² - 3x = 0

0 = 0

2ª solución: x₂ = 0,5

6x² - 3x = 0

0 = 0

5º) 7/x - 3 = 4x

Calculamos una ecuación equivalente en la que todos los términos tengan el mismo denominador:

$fracción 7 entre x menos fracción numerador 3 x entre denominador x fin fracción igual fracción numerador 4 x al cuadrado entre denominador x fin fracción$

Podemos eliminar los denominadores:

7 – 3x = 4x²

Pasamos todos los términos al miembro de la izquierda.

7 – 3x - 4x²= 0

Simplificamos y ordenamos lo términos de mayor a menor grado:

- 4x²-3x + 7 = 0

Para eliminar el signo negativo del término de mayor grado multiplicamos ambos miembros por -1.

4x²+ 3x - 7 = 0

Despejamos la incógnita:

1ª solución: x₁ = $fracción numerador menos b más raíz cuadrada de b al cuadrado menos 4 a c fin raíz entre denominador 2 a fin fracción igual fracción numerador menos 3 más raíz cuadrada de 3 al cuadrado menos 4 producto asterisco 4 producto asterisco abrir paréntesis menos 7 cerrar paréntesis fin raíz entre denominador 2 producto asterisco 4 fin fracción igual 1$

2ª solución: x₂ = $fracción numerador menos b menos raíz cuadrada de b al cuadrado menos 4 a c fin raíz entre denominador 2 a fin fracción igual fracción numerador menos 3 menos raíz cuadrada de 3 al cuadrado menos 4 producto asterisco 4 producto asterisco abrir paréntesis menos 7 cerrar paréntesis fin raíz entre denominador 2 producto asterisco 4 fin fracción igual menos 1.75$

Comprobamos en la ecuación inicial si estas soluciones hacen cumplir la igualdad.

1ª Solución: x₁ = 1

$fracción 7 entre x menos 3 igual 4 x fracción 7 entre 1 menos 3 igual 4 4 igual 4$

Vemos por tanto que cumple la igualdad.

2ª Solución: x₂ = -1,75

$fracción 7 entre 3 menos 3 igual 4 x fracción numerador 7 entre denominador abrir paréntesis menos 1.75 cerrar paréntesis fin fracción menos 3 igual 4 producto asterisco abrir paréntesis menos 1.75 cerrar paréntesis menos 7 igual menos 7$

Vemos que también cumple la igualdad.

6º) 2x² - 4x + 5 / 3x² +5x -2 =2

El denominador del miembro de la izquierda pasa al miembro de la derecha multiplicando:

$2 x al cuadrado menos 4 x más 5 igual 2 producto asterisco abrir paréntesis 3 x al cuadrado más 5 x menos 2 cerrar paréntesis 2 x al cuadrado menos 4 x más 5 igual 6 x al cuadrado más 10 x más 4$

Pasamos todos los términos al miembro de la izquierda.

2x²- 4x + 5 - 6x²- 10x + 4 = 0

Simplificamos y ordenamos lo términos de mayor a menor grado:

-4x²- 14x + 9 = 0

Para eliminar el signo negativo del término de mayor grado multiplicamos ambos miembros por -1.

4x²+ 14x - 9 = 0

Despejamos la incógnita:

1ª solución: x₁ = $fracción numerador menos b más raíz cuadrada de raíz cuadrada de b al cuadrado menos 4 a c fin raíz fin raíz entre denominador 2 a fin fracción igual fracción numerador menos 14 más raíz cuadrada de abrir paréntesis 14 cerrar paréntesis al cuadrado menos 4 producto asterisco 4 producto asterisco abrir paréntesis menos 9 cerrar paréntesis fin raíz entre denominador 2 producto asterisco 4 fin fracción igual 0.5549$

2ª solución: x₂ = $fracción numerador menos b menos raíz cuadrada de b al cuadrado menos 4 a c fin raíz entre denominador 2 a fin fracción igual fracción numerador menos 14 más raíz cuadrada de abrir paréntesis 14 cerrar paréntesis al cuadrado menos 4 producto asterisco 4 producto asterisco abrir paréntesis menos 9 cerrar paréntesis fin raíz entre denominador 2 producto asterisco 4 fin fracción igual menos 4.0549$

Comprobamos en la ecuación inicial si estas soluciones hacen cumplir la igualdad.

1ª solución: x₁ = 0,5549

$fracción numerador 2 x al cuadrado menos 4 x más 5 entre denominador 3 x al cuadrado más 5 x menos 2 fin fracción igual 2 fracción numerador 2 producto asterisco abrir paréntesis 0.5549 cerrar paréntesis al cuadrado menos 4 producto asterisco 0.5549 más 5 entre denominador 3 producto asterisco abrir paréntesis 0.5549 cerrar paréntesis al cuadrado más 5 producto asterisco 0.5549 menos 2 fin fracción igual 2 2 igual 2$ $fracción numerador 2 x al cuadrado menos 4 x más 5 entre denominador 3 x al cuadrado más 5 x menos 2 fin fracción igual 2 fracción numerador 2 producto asterisco abrir paréntesis 0.5549 cerrar paréntesis al cuadrado menos 4 producto asterisco 0.5549 más 5 entre denominador 3 producto asterisco abrir paréntesis 0.5549 cerrar paréntesis al cuadrado más 5 producto asterisco 0.5549 menos 2 fin fracción igual 2 2 igual 2$

2ª solución: x₂ = -4,0549

$fracción numerador 2 x al cuadrado menos 4 x más 5 entre denominador 3 x al cuadrado más 5 x menos 2 fin fracción igual 2 fracción numerador 2 producto asterisco abrir paréntesis menos 4.0549 cerrar paréntesis al cuadrado menos 4 producto asterisco abrir paréntesis menos 4.0549 cerrar paréntesis más 5 entre denominador 3 producto asterisco abrir paréntesis menos 4.0549 cerrar paréntesis al cuadrado más 5 producto asterisco abrir paréntesis menos 4.0549 cerrar paréntesis menos 2 fin fracción igual 2 2 igual 2$

7º) $negrita 4 negrita producto asterisco abrir paréntesis negrita 3 negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 2 negrita x cerrar paréntesis negrita igual negrita 5 negrita producto asterisco abrir paréntesis fracción numerador negrita 3 negrita x entre denominador negrita 3 fin fracción negrita más negrita 1 cerrar paréntesis$

Resolvemos los paréntesis:

$12 x al cuadrado menos 8 x igual fracción numerador 15 x entre denominador 3 fin fracción más 5$

Calculamos una ecuación equivalente en la que todos los términos tengan el mismo denominador:

$fracción numerador 3 producto asterisco 12 x al cuadrado entre denominador 3 fin fracción menos fracción numerador 3 producto asterisco 8 x entre denominador 3 fin fracción igual fracción numerador 15 x entre denominador 3 fin fracción más fracción 15 entre 3$

Eliminamos el denominador:

36x² - 24x = 15x +15

Pasamos todos los términos al miembro de la izquierda.

36x² - 24x - 15x -15 = 0

Despejamos la incógnita:

1ª solución: x₁ = $fracción numerador menos b más raíz cuadrada de b al cuadrado fin raíz menos 4 a c entre denominador 2 a fin fracción igual fracción numerador 39 más raíz cuadrada de abrir paréntesis menos 39 cerrar paréntesis al cuadrado menos 4 producto asterisco 36 producto asterisco abrir paréntesis menos 15 cerrar paréntesis fin raíz entre denominador 2 producto asterisco 36 fin fracción igual 1.3843$

2ª solución: x₂ = $fracción numerador menos b menos raíz cuadrada de b al cuadrado fin raíz menos 4 a c entre denominador 2 a fin fracción igual fracción numerador 39 menos raíz cuadrada de abrir paréntesis menos 39 cerrar paréntesis al cuadrado menos 4 producto asterisco 36 producto asterisco abrir paréntesis menos 15 cerrar paréntesis fin raíz entre denominador 2 producto asterisco 36 fin fracción igual 0.3010$

Comprobamos en la ecuación inicial si estas soluciones hacen cumplir la igualdad.

1ª solución: x₁ = 1,3843

$4 producto asterisco abrir paréntesis 3 x al cuadrado menos 2 x cerrar paréntesis igual 5 producto asterisco abrir paréntesis fracción numerador 3 x entre denominador 3 fin fracción más 1 cerrar paréntesis 4 producto asterisco abrir paréntesis 3 producto asterisco 1.3843 al cuadrado menos 2 producto asterisco 1.3843 cerrar paréntesis igual 5 producto asterisco abrir paréntesis fracción numerador 3 producto asterisco 1.3843 entre denominador 3 fin fracción más 1 cerrar paréntesis 11.9216 igual 11.9216$

2ª solución: x₂ = -0,3010

$4 producto asterisco abrir paréntesis 3 x elevado a 2 menos 2 x fin elevado cerrar paréntesis igual 5 producto asterisco abrir paréntesis fracción numerador 3 x entre denominador 3 fin fracción más 1 cerrar paréntesis 4 producto asterisco abrir paréntesis 3 producto asterisco abrir paréntesis menos 0.3010 cerrar paréntesis al cuadrado menos 2 producto asterisco abrir paréntesis menos 0.3010 cerrar paréntesis cerrar paréntesis igual 5 producto asterisco abrir paréntesis fracción numerador 3 producto asterisco abrir paréntesis menos 0.3010 cerrar paréntesis entre denominador 3 fin fracción más 1 cerrar paréntesis 3.4950 igual 3.4950$

8º) $fracción numerador negrita 2 negrita x elevado a negrita 2 entre denominador negrita 3 fin fracción negrita menos fracción numerador negrita 3 negrita x entre denominador negrita 5 fin fracción negrita igual fracción negrita 4 entre negrita 2$

Calculamos una ecuación equivalente en la que todos los términos tengan el mismo denominador. Hallamos el mínimo común múltiplo de los denominadores.

$fracción numerador 10 producto asterisco 2 x al cuadrado entre denominador 30 fin fracción menos fracción numerador 6 producto asterisco 3 x entre denominador 30 fin fracción igual fracción numerador 15 producto asterisco 4 entre denominador 30 fin fracción$

Eliminamos los denominadores:

20x² - 18x = 60

Pasamos todos los términos al miembro de la izquierda.

20x² - 18x – 60 = 0

Despejamos la incógnita:

1ª solución: x₁ = $fracción numerador menos b más raíz cuadrada de b al cuadrado menos 4 a c fin raíz entre denominador 2 a fin fracción igual fracción numerador 18 más raíz cuadrada de abrir paréntesis menos 18 cerrar paréntesis al cuadrado menos 4 producto asterisco 20 producto asterisco abrir paréntesis menos 60 cerrar paréntesis fin raíz entre denominador 2 producto asterisco 20 fin fracción igual 2.2396$

2ª solución: x₂ = $fracción numerador menos b menos raíz cuadrada de b al cuadrado menos 4 a c fin raíz entre denominador 2 a fin fracción igual fracción numerador 18 raíz cuadrada de abrir paréntesis menos 18 cerrar paréntesis al cuadrado menos 4 producto asterisco 20 producto asterisco abrir paréntesis menos 60 cerrar paréntesis fin raíz entre denominador 2 producto asterisco 20 fin fracción igual menos 1.3396$

Comprobamos en la ecuación inicial si estas soluciones hacen cumplir la igualdad.

1ª solución: x₁ = 2,2396

$fracción numerador 2 x al cuadrado entre denominador 3 fin fracción menos fracción numerador 3 x entre denominador 5 fin fracción igual fracción 4 entre 2 fracción numerador 2 producto asterisco abrir paréntesis 2.2396 cerrar paréntesis al cuadrado entre denominador 3 fin fracción menos fracción numerador 3 producto asterisco 2.2396 entre denominador 5 fin fracción igual fracción 4 entre 2 2 igual 2$

2ª solución: x₂ = -1,3396

$fracción numerador 2 x al cuadrado entre denominador 3 fin fracción menos fracción numerador 3 x entre denominador 5 fin fracción igual fracción 4 entre 2 fracción numerador 2 producto asterisco abrir paréntesis menos 1.3396 cerrar paréntesis al cuadrado entre denominador 3 fin fracción menos fracción numerador 3 producto asterisco abrir paréntesis menos 1.3396 cerrar paréntesis entre denominador 5 fin fracción igual fracción 4 entre 2 2 igual 2$

9º) $fracción numerador negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 4 entre denominador negrita 3 fin fracción negrita menos fracción numerador negrita 3 negrita x negrita más negrita 1 entre denominador negrita 2 fin fracción negrita igual fracción numerador negrita x negrita más negrita 1 entre denominador negrita 3 fin fracción$

Calculamos una ecuación equivalente en la que todos los términos tengan el mismo denominador. Hallamos el mínimo común múltiplo de los denominadores.

$fracción numerador 2 producto asterisco abrir paréntesis x al cuadrado menos 4 cerrar paréntesis entre denominador 6 fin fracción menos fracción numerador 3 producto asterisco abrir paréntesis 3 x más 1 cerrar paréntesis entre denominador 6 fin fracción igual fracción numerador 2 producto asterisco abrir paréntesis x más 1 cerrar paréntesis entre denominador 6 fin fracción$

Eliminamos los denominadores:

2x² - 8 – 9x -3 = 2x +2

Pasamos todos los términos al miembro de la izquierda.

2x² - 8 – 9x -3 - 2x - 2 = 0

Simplificamos y ordenamos lo términos:

2x² - 11x -13 = 0

Despejamos la incógnita:

1ª solución: x₁ = $fracción numerador menos b más raíz cuadrada de b al cuadrado menos 4 a c fin raíz entre denominador 2 a fin fracción igual fracción numerador 11 más raíz cuadrada de abrir paréntesis menos 11 cerrar paréntesis al cuadrado menos 4 producto asterisco 2 producto asterisco abrir paréntesis menos 13 cerrar paréntesis fin raíz entre denominador 2 producto asterisco 2 fin fracción igual 6.5$

2ª solución: x₂ = $fracción numerador menos b menos raíz cuadrada de b al cuadrado fin raíz menos 4 a c entre denominador 2 a fin fracción igual fracción numerador 11 menos raíz cuadrada de abrir paréntesis menos 11 cerrar paréntesis al cuadrado menos 4 producto asterisco 2 producto asterisco abrir paréntesis menos 13 cerrar paréntesis fin raíz entre denominador 2 producto asterisco 2 fin fracción igual menos 1$

Comprobamos en la ecuación inicial si estas soluciones hacen cumplir la igualdad.

1ª solución: x₁ = 6,5

$fracción numerador x al cuadrado menos 4 entre denominador 3 fin fracción menos fracción numerador 3 x más 1 entre denominador 2 fin fracción igual fracción numerador x más 1 entre denominador 3 fin fracción fracción numerador 6.5 al cuadrado menos 4 entre denominador 3 fin fracción igual fracción numerador 3 producto asterisco 6.5 más 1 entre denominador 2 fin fracción igual fracción numerador 6.5 más 1 entre denominador 3 fin fracción 2.5 igual 2.5$

2ª solución: x₂ = -1

$fracción numerador x al cuadrado menos 4 entre denominador 3 fin fracción menos fracción numerador 3 x más 1 entre denominador 2 fin fracción igual fracción numerador x más 1 entre denominador 3 fin fracción fracción numerador abrir paréntesis menos 1 cerrar paréntesis al cuadrado menos 4 entre denominador 3 fin fracción menos fracción numerador 3 producto asterisco abrir paréntesis menos 1 cerrar paréntesis más 1 entre denominador 2 fin fracción igual fracción numerador menos 1 más 1 entre denominador 3 fin fracción 0 igual 0$

10º) $fracción negrita x elevado a negrita 2 entre negrita 3 negrita menos fracción negrita x entre negrita 2 negrita igual fracción negrita 4 entre negrita 5$

Calculamos una ecuación equivalente en la que todos los términos tengan el mismo denominador. Hallamos el mínimo común múltiplo de los denominadores.

$fracción numerador 10 x al cuadrado entre denominador 30 fin fracción menos fracción numerador 15 x entre denominador 30 fin fracción igual fracción numerador 6 producto asterisco 4 entre denominador 30 fin fracción$

Eliminamos los denominadores:

10x² – 15x = 24

Pasamos todos los términos al miembro de la izquierda.

10x² – 15x - 24 = 0

Despejamos la incógnita:

1ª solución: x₁ = $fracción numerador menos b más raíz cuadrada de b al cuadrado menos 4 a c fin raíz entre denominador 2 a fin fracción igual fracción numerador 15 más raíz cuadrada de abrir paréntesis menos 15 cerrar paréntesis al cuadrado menos 4 producto asterisco 10 producto asterisco abrir paréntesis menos 24 cerrar paréntesis fin raíz entre denominador 2 producto asterisco 10 fin fracción igual 2.4712$

2ª solución: x₂ = $fracción numerador menos b menos raíz cuadrada de b al cuadrado menos 4 a c fin raíz entre denominador 2 a fin fracción igual fracción numerador 15 menos raíz cuadrada de abrir paréntesis menos 15 cerrar paréntesis al cuadrado menos 4 producto asterisco 10 producto asterisco abrir paréntesis menos 24 cerrar paréntesis fin raíz entre denominador 2 producto asterisco 10 fin fracción igual 0.9712$

Comprobamos en la ecuación inicial si estas soluciones hacen cumplir la igualdad.

1ª solución: x₁ = 2,4712

$fracción x al cuadrado entre 3 menos fracción x entre 2 igual fracción 4 entre 5 fracción abrir paréntesis 2.4712 cerrar paréntesis al cuadrado entre 3 menos fracción numerador 2.4712 entre denominador 2 fin fracción igual fracción 4 entre 5 0.8 igual 0.8$

2ª solución: x₂ = -0,9712

$fracción x al cuadrado entre 3 menos fracción x entre 2 igual fracción 4 entre 5 fracción abrir paréntesis menos 0.9712 cerrar paréntesis al cuadrado entre 3 menos fracción numerador menos 9712 entre denominador 2 fin fracción igual fracción 4 entre 5 0.8 igual 0.8$