Ejercicios (Continuación)

Ejemplo 5º

x – 3y = 5

3x – 9y = -4

 

Representar gráficamente:

ecuaciones dos incognitas

 

a) Método de sustitución:

x – 3y = 5

3x – 9y = -4

 

En la primera ecuación despejamos la “x”

x – 3y = 5

x = 5 + 3y

 

Sustituimos en la segunda ecuación:

3x – 9y = -4

3*(5 + 3y) – 9y = -4

15 + 9y - 9y = -4

15 = -4

Se trata de una igualdad que no se puede cumplir. Por lo tanto no encontramos ningún valor de “y” que haga cumplir la igualdad de la ecuación.

A no poder calcular “y1” no podemos calcular tampoco “x1”.

 

b) Método de igualación:

Despejamos la “x” en ambas ecuaciones:

1ª ecuación:

x – 3y = 5

x = 5 + 3y

 

2ª ecuación:

3x – 9y = -4

3x = -4 + 9y

x = (-4 + 9y) / 3

 

Igualamos las dos expresiones

5 + 3y = (-4 + 9y) / 3

15 + 9y = -4 + 9y

15 = -4

Como vimos con el método anterior, se trata de una igualdad imposible.

 

c) Método de reducción:

x – 3y = 5

3x – 9y = -4

Vamos a eliminar la incógnita “x” y para ello a la primera ecuación le restamos la segunda, pero previamente vamos a multiplicar ambos miembros de la primera ecuación por 3 para que la incógnita “x” tenga el mismo coeficiente en ambas ecuaciones.

La primera ecuación queda:

3x – 9y = 15

 

Procedemos a restar:

3x – 9y = 15

3x – 9y = -4

-----------------

0 = 19

Nuevamente nos encontramos con una igualdad imposible.

 

 

Ejemplo 6º

3x + 2y = 0

5y – 2x = 0

 

Representar gráficamente:

ecuaciones dos incongnitas10

 

a) Método de sustitución:

3x + 2y = 0

5y – 2x = 0

 

En la primera ecuación despejamos la “x”

3x + 2y = 0

3x = -2y

x = -2y / 3

 

Sustituimos “x” en la segunda ecuación:

5y – 2x = 0

5y – 2*(-2y / 3) = 0

5y + 4y / 3 = 0

15y + 4y = 0

y1 = 0

 

Calculamos “x”:

x = -2y / 3

x = -2*0 / 3

x1 = 0

 

Por lo tanto la solución de este sistema línea de ecuaciones es el par de valores (x1 = 0; y1 = 0)

Comprobamos en el sistema de ecuaciones si estos dos valores hacen cumplir simultáneamente ambas igualdades:

3x + 2y = 0

5y – 2x = 0

 

Sustituyendo las incógnitas por las soluciones:

1ª ecuación:

3*0 + 2*0 = 0

0 = 0

 

2ª ecuación:

5y – 2x = 0

5*0 – 2*0 = 0

0 = 0

 

b) Método de igualación:

3x + 2y = 0

5y – 2x = 0

 

Despejamos la “x” en ambas ecuaciones:

1ª ecuación:

3x + 2y = 0

x = -2y / 3

 

2ª ecuación:

5y – 2x = 0

x = 5y / 2

 

Igualamos las dos expresiones

-2y / 3 = 5y / 2

-4y = 15y

19y = 0

y1 = 0

 

Calculamos “x1”:

x = -2y / 3

x1 = -2*0 / 3= 0

 

c) Método de reducción:

3x + 2y = 0

5y – 2x = 0

Vamos a eliminar la incógnita “x” y para ello a la primera ecuación le restamos la segunda, pero previamente vamos a multiplicar ambos miembros de la primera por -2 (coeficiente de la incógnita “x” en la segunda ecuación) y ambos miembros de la segunda por 3 (coeficiente de la incógnita “x” en la primera ecuación).

El sistema de ecuaciones queda (la ordenamos para que las incógnitas figuren en el mismo orden:

- 6x - 4y = 0

– 6x + 15y= 0

 

Procedemos a restar:

- 6x - 4y = 0

– 6x + 15y= 0

-----------------

0x – 19y = 0

 

Despejamos “y”:

y1 = 0 / (-19) = 0

 

Despejamos “x1” en la primera ecuación:

3x + 2y = 0

3x + 2*0 = 0

x1 = 0 / 3 = 0

 

 

Ejemplo 7º

3x – 6y = 0

2x = 3

 

Representar gráficamente:

ecuaciones dos incognitas11

 

a) Método de sustitución:

3x – 6y = 0

2x = 3

 

En la segunda ecuación despejamos la “x”

2x = 3

x = 2 / 2 = 1,5

 

Sustituimos “x” en la primera ecuación:

3x – 6y = 0

3*1,5 – 6y = 0

y1 = 4,5 / 6 = 0,75

 

Conocemos ya el valor de “x”:

x1 = 1,5

 

Por lo tanto la solución de este sistema línea de ecuaciones es el par de valores (x1 = 1,5; y1 = 0,75)

Comprobamos en el sistema de ecuaciones si estos dos valores hacen cumplir simultáneamente ambas igualdades:

3x – 6y = 0

2x = 3

 

Sustituyendo las incógnitas por las soluciones:

1ª ecuación:

3*1,5 – 6*0,75 = 0

0 = 0

 

2ª ecuación:

2*1,5 = 3

3 = 3

 

b) Método de igualación:

3x – 6y = 0

2x = 3

 

Despejamos la “x” en ambas ecuaciones:

1ª ecuación:

3x – 6y = 0

x = 6y / 3 = 2y

 

2ª ecuación:

2x = 3

x = 1,5

 

Igualamos las dos expresiones

2y = 1,5

y1 = 1,5 / 2 = 0,75

 

Antes, al despejar la “x” en la segunda ecuación calculamos ya el valor de “x1”:

x1 = 1,5

 

c) Método de reducción:

3x – 6y = 0

2x = 3

Vamos a eliminar la incógnita “x” y para ello a la primera ecuación le restamos la segunda, pero previamente vamos a multiplicar ambos miembros de la primera por 2 (coeficiente de la incógnita “x” en la segunda ecuación) y ambos miembros de la segunda por 3 (coeficiente de la incógnita “x” en la primera ecuación).

 

6x - 12y = 0

6x = 9

-----------------

0x – 12y = -9

 

Despejamos “y”:

y1 = -9 / (-12) = 0,75

 

Despejamos “x1” en la segunda ecuación:

2x = 3

x1 = 3 / 2 = 1,5

 

 

Ejemplo 8º

y = 5

6x - y = 4

 

Representar gráficamente:

ecuaciones dos incognitas12

 

a) Método de sustitución:

y = 5

6x - y = 4

 

En la primera ecuación tenemos ya el valor de “y”

y1 = 5

 

Sustituimos “y” en la segunda ecuación:

6x - y = 4

6x - 5 = 4

x1 = 9 / 6 = 1,5

 

Por lo tanto la solución de este sistema línea de ecuaciones es el par de valores (x1 = 1,5; y1 = 5)

Comprobamos en el sistema de ecuaciones si estos dos valores hacen cumplir simultáneamente ambas igualdades:

y = 5

6x - y = 4

 

Sustituyendo las incógnitas por las soluciones:

1ª ecuación:

5 = 5

 

2ª ecuación:

6*1,5 - 5 = 4

4 = 4

 

 

b) Método de igualación:

y = 5

6x - y = 4

 

Despejamos la “y” en ambas ecuaciones:

1ª ecuación:

y = 5

 

2ª ecuación:

6x - y = 4

y = 6x - 4

 

Igualamos las dos expresiones

6x - 4 = 5

x1 = 9 / 6 = 1,5

 

También conocemos “y1”:

y1 = 5

 

 

c) Método de reducción:

y = 5

6x - y = 4

 

Vamos a eliminar la incógnita “y”. Para ello a la primera ecuación le sumamos la segunda, ya que en ambas ecuaciones esta incógnita tiene el mismo coeficiente pero con signo contrario.

y = 5

6x - y = 4

-----------------

6x = 9

 

Despejamos la “x”:

x1 = 9 / 6 = 1,5

 

También conocemos ya la “y1”:

y1 = 5

 

Ejemplo 9º

5x – y = 5

x = y

 

Representar gráficamente:

ecuaciones dos incognitas13

 

a) Método de sustitución:

5x – y = 5

x = y

 

En la segunda ecuación tenemos ya despejada la “x”:

x = y

 

Sustituimos “x” en la primera ecuación:

5x – y = 5

5y – y = 5

y1 = 5 / 4 = 1,25

 

Calculamos el valor de “x”:

x1 = 1,25

 

Por lo tanto la solución de este sistema línea de ecuaciones es el par de valores (x1 = 1,25; y1 = 1,25)

Comprobamos en el sistema de ecuaciones si estos dos valores hacen cumplir simultáneamente ambas igualdades:

5x – y = 5

x = y

 

Sustituyendo las incógnitas por las soluciones:

1ª ecuación:

5x – y = 5

5*1,25 – 1,25 = 5

5 = 5

 

2ª ecuación:

x = y

1,25 = 1,25

 

b) Método de igualación:

5x – y = 5

x = y

 

Despejamos la “y” en ambas ecuaciones:

1ª ecuación:

y = 5x - 5

 

2ª ecuación:

y = x

 

Igualamos las dos expresiones

5x - 5 = x

x1 = 5 / 4 = 1,25

 

Calculamos “y1”:

y1 = x = 1,25

 

c) Método de reducción:

5x – y = 5

x = y

Vamos a eliminar la incógnita “y”. Para ello comenzamos por situar en la segunda ecuación todas las incógnitas en el miembro de la izquierda. Este sistema de ecuación quedaría:

5x – y = 5

x – y = 0

 

A la primera ecuación le restamos la segunda.

5x – y = 5

x – y = 0

-----------------

4x = 5

 

Despejamos “x”:

x1 = 5 / 4 = 1,25

 

En la segunda ecuación despejamos “y1”:

x = y

1,25 = y1

 

Ejemplo 10º

(4x + 3) / 4 – 3y/5 = 5/4

(2x +4)/5 + 7y/2 = 6 /3

 

Comenzamos por simplificar estas ecuaciones:

1ª ecuación:

(4x + 3) / 4 – 3y/5 = 5/4

5*(4x + 3) / 20 – 4*3y/20 = 5*5/20

20x + 15 – 12y = 25

20x – 12y = 10

 

Dividimos por 2 ambos miembros:

10x – 6y = 5

 

2ª ecuación:

(2x + 4)/5 + 7y/2 = 6 /3

6*(2x + 4)/30 + 15*7y/30 = 10*6 /30

12x +24 + 105y = 60

12x + 105y = 36

 

Dividimos por 3 ambos miembros:

4x + 35y = 12

 

El sistema de ecuaciones quedaría:

10x – 6y = 5

4x + 35y = 12

 

Representar gráficamente:

ecuaciones dos incognitas14

 

a) Método de sustitución:

10x – 6y = 5

4x + 35y = 12

 

En la primera ecuación despejamos la “x”:

10x – 6y = 5

10x = 5 + 6y

x = (5 + 6y) / 10

 

Sustituimos “x” en la segunda ecuación:

4x + 35y = 12

4*((5 + 6y) / 10) + 35y = 12

(10 + 12y) / 5 + 35y = 12

10 + 12y + 175y = 60

187y = 50

y1 = 50 / 187 = 0,2674

 

Calculamos el valor de “x”:

x = (5 + 6y) / 10

x = (5 + 6*0,2674) / 10

x1 = 0,6604

 

Por lo tanto la solución de este sistema línea de ecuaciones es el par de valores (x1 = 0,6604; y1 = 0,2674)

Comprobamos en el sistema de ecuaciones si estos dos valores hacen cumplir simultáneamente ambas igualdades:

(4x + 3) / 4 – 3y/5 = 5/4

(2x +4)/5 + 7y/2 = 6 /3

 

Sustituyendo las incógnitas por las soluciones:

1ª ecuación:

(4*0,6604 + 3) / 4 – 3*0,2674/5 = 5/4

1,25 = 1,25

 

2ª ecuación:

(2*0,6604 +4)/5 + 7*0,2674/2 = 6 /3

2 = 2

 

b) Método de igualación:

10x – 6y = 5

4x + 35y = 12

 

Despejamos la “x” en ambas ecuaciones:

1ª ecuación:

10x – 6y = 5

x = (5 + 6y) / 10

 

2ª ecuación:

4x + 35y = 12

x = (12 - 35y) / 4

 

Igualamos las dos expresiones

(5 + 6y) / 10 = (12 - 35y) / 4

2*(5 + 6y) / 20 = 5*(12 - 35y) / 20

10 + 12y = 60 - 175y

187y = 50

y1 = 50 / 187 = 0,2674

 

Calculamos “x1”:

x = (5 + 6y) / 10

x = (5 + 6*0,2674) / 10

x1 = 0,6604

 

c) Método de reducción:

10x – 6y = 5

4x + 35y = 12

Vamos a eliminar la incógnita “x”. Para ello multiplicamos los dos miembros de la primera ecuación por 2 y los dos miembros de la segunda ecuación por 5, de esta manera conseguimos que la incógnita “x” tenga el mismo coeficiente en ambas ecuaciones.

El sistema de ecuaciones quedaría:

20x – 12y = 10

20x + 175y = 60

 

A la primera ecuación le restamos la segunda:

20x – 12y = 10

20x + 175y = 60

-----------------

-187y = -50

 

Despejamos “y”:

y1 = 50 / 187 = 0,2674

 

En la segunda ecuación despejamos “x”:

x = (5 + 6y) / 10

x = (5 + 6*0,2674) / 10

x1 = 0,6604

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