Ejercicios

Ejemplo 1º

2x + 3y = 4

x - 2y = 5

 

Representar gráficamente:

ecuaciones dos incognitas5

 

a) Método de sustitución:

En la segunda ecuación despejamos la “x”

x = 5 + 2y

 

Sustituimos en la primera ecuación:

2*(5 + 2y) + 3y = 4

10 + 4y + 3y = 4

7y = -6

y1 = -6 / 7 = -0,8571

 

Calculamos “x”:

x = 5 + 2y

x1 = 5 + 2*(-0,8571) = 3,2857

 

Por lo tanto la solución de este sistema línea de ecuaciones es el par de valores (x1 = 3,2857; y1 = -8,5714)

 

Comprobamos en el sistema de ecuaciones si estos dos valores hacen cumplir simultáneamente ambas igualdades:

2x + 3y = 4

x - 2y = 5

 

Sustituyendo las incógnitas por las soluciones:

1ª ecuación:

2*(3,2857) + 3*(-0,8571) = 4

4 = 4

 

2ª ecuación:

x - 2y = 5

3,2857 - 2*(-0,8571) = 5

5 = 5

 

b) Método de igualación:

Despejamos la “x” en ambas ecuaciones:

1ª ecuación:

2x + 3y = 4

x = (4 – 3y)/2

 

2ª ecuación:

x - 2y = 5

x = 5 + 2y

 

Igualamos las dos expresiones

(4 – 3y)/2 = 5 + 2y

4 – 3y = 10 + 4y

7y = -6

y1 = -6 / 7 = -0,8571

 

Calculamos “x1”:

x = (4 – 3y)/2

x1 = (4 – 3*(-0,8571))/2 = 3,2857

 

 

c) Método de reducción:

2x + 3y = 4

x - 2y = 5

Vamos a eliminar la incógnita “x” y para ello a la primera ecuación le restamos la segunda, pero previamente vamos a multiplicar ambos miembros de la segunda por el coeficiente que la incógnita “x” tiene en la primera ecuación (2).

La segunda ecuación queda:

2x - 4y = 10

 

Procedemos a restar:

2x + 3y = 4

2x - 4y = 10

-----------------

0x + 7y = -6

 

Despejamos “y”:

7y = -6

y1 = -6 / 7 = -0,8571

 

Despejamos “x1” en la primera ecuación:

2x + 3y = 4

x = (4 – 3y) / 2

x1 = (4 – 3*(-0,8571))/2 = 3,2857

 

 

Ejemplo 2º

2x + 3 = 3y

4x - 5y = 1

 

Representar gráficamente:

ecuaciones dos incognitas6

 

 

a) Método de sustitución:

En la primera ecuación despejamos la “x”

2x + 3 = 3y

2x = 3y -3

x = (3y – 3) / 2

 

Sustituimos en la segunda ecuación:

4x - 5y = 1

4*((3y – 3) / 2) - 5y = 1

6y – 6 - 5y = 1

y1 = 7

 

Calculamos “x”:

x = (3y – 3) / 2

x = (3*(7) – 3) / 2

x1 = 9

 

Por lo tanto la solución de este sistema línea de ecuaciones es el par de valores (x1 = 9; y1 = 7)

Comprobamos en el sistema de ecuaciones si estos dos valores hacen cumplir simultáneamente ambas igualdades:

2x + 3 = 3y

4x - 5y = 1

 

Sustituyendo las incógnitas por las soluciones:

1ª ecuación:

2*9 + 3 = 3*7

21 = 21

 

2ª ecuación:

4x - 5y = 1

4*9 – 5*7 = 1

1 = 1

 

b) Método de igualación:

Despejamos la “x” en ambas ecuaciones:

1ª ecuación:

2x + 3 = 3y

2x = 3y -3

x = (3y – 3) / 2

 

2ª ecuación:

4x - 5y = 1

4x = 1 + 5y

x = (1 + 5y) / 4

 

Igualamos las dos expresiones

(3y – 3) / 2 = (1 + 5y) / 4

6y – 6 = 1 + 5y

y1 = 7

 

Calculamos “x1”:

x = (3y – 3) / 2

x1 = (3*7 – 3) / 2 = 9

 

c) Método de reducción:

2x + 3 = 3y

4x - 5y = 1

Vamos a eliminar la incógnita “x” y para ello a la primera ecuación le restamos la segunda, pero previamente vamos a multiplicar ambos miembros de la primera ecuación por 2 para que la incógnita “x” tanga el mismo coeficiente en ambas ecuaciones.

La primera ecuación queda:

4x + 6 = 6y

 

Procedemos a restar:

4x + 6 = 6y

4x - 5y = 1

-----------------

0x + 6 + 5y = 6y - 1

 

Despejamos “y”:

y1 = 7

 

Despejamos “x1” en la primera ecuación:

2x + 3 = 3y

x = (3y - 3) / 2

x1 = (3*7 - 3) / 2 = 9

 

 

Ejemplo 3º

4x/5 – 3y/2 = 5

2x/6 + 7y = 6

 

Representar gráficamente:

ecuaciones dos incognitas7

 

 

a) Método de sustitución:

Comenzamos por simplificar las ecuaciones para eliminar los denominadores:

1ª ecuación:

4x/5 – 3y/2 = 5

2*4x/10 – 5*3y/10 = 10*5/10

8x – 15y = 50

 

2ª ecuación:

2x/6 + 7y = 6

2x/6 + 6*7y/6 = 6*6/6

2x + 42y = 36

x + 21y = 18

 

Por lo tanto, el sistema de ecuación simplificado queda:

8x – 15y = 50

x + 21y = 18

 

En la segunda ecuación despejamos la “x”

x + 21y = 18

x = 18 - 21y

 

Sustituimos en la primera ecuación:

8x – 15y = 50

8*(18 - 21y) – 15y = 50

144 - 168y – 15y = 50

-183y = -94

y1 = 0,5137

 

Calculamos “x”:

x = 18 - 21y

x = 18 – 21*(0,5137)

x1 = 7,2131

 

Por lo tanto la solución de este sistema línea de ecuaciones es el par de valores (x1 = 7,2131; y1 = 0,5137)

 

Comprobamos en el sistema de ecuaciones si estos dos valores hacen cumplir simultáneamente ambas igualdades:

4x/5 – 3y/2 = 5

2x/6 + 7y = 6

 

Sustituyendo las incógnitas por las soluciones:

1ª ecuación:

4*(7,2131)/5 – 3*(0,5137)/2 = 5

5 = 5

 

2ª ecuación:

2x/6 + 7y = 6

2*(7,2131)/6 + 7*(0,5137) = 6

6 = 6

 

b) Método de igualación:

Trabajamos con el sistema de ecuación simplificado:

8x – 15y = 50

x + 21y = 18

 

Despejamos la “x” en ambas ecuaciones:

1ª ecuación:

8x – 15y = 50

8x = 50 + 15y

x = (50 + 15y) / 8

 

2ª ecuación:

x + 21y = 18

x = 18 – 21y

 

Igualamos las dos expresiones:

(50 + 15y) / 8 = 18 – 21y

50 + 15y = 144 – 168y

183y = 94

y1 = 94 / 183 = 0,5137

 

Calculamos “x1”:

x = 18 – 21y

x1 = 18 – 21*0,5137 = 7,2131

 

c) Método de reducción:

8x – 15y = 50

x + 21y = 18

 

Vamos a eliminar la incógnita “x” y para ello a la primera ecuación le restamos la segunda, pero previamente vamos a multiplicar ambos miembros de la segunda por 8 para que la incógnita “x” tenga el mismo coeficiente en ambas ecuaciones.

La segunda ecuación queda:

8x + 168y = 144

 

Procedemos a restar:

8x – 15y = 50

8x + 168y = 144

-----------------

0x - 183y = -94

 

Despejamos “y”:

y1 = 94 / 183 = 0,5137

 

Despejamos “x1” en la primera ecuación:

x + 21y = 18

x + 21*0,5137 = 18

x1 = 7,2131

 

 

Ejemplo 4º

3x – 2y = 7

6x – 4y = 14

 

Representar gráficamente:

ecuaciones dos incognitas8

 

a) Método de sustitución:

3x – 2y = 7

6x – 4y = 14

 

En la primera ecuación despejamos la “x”

3x – 2y = 7

3x = 7 + 2y

x = (7 + 2y) / 3

 

Sustituimos en la segunda ecuación:

6x – 4y = 14

6*((7 + 2y) / 3) – 4y = 14

14 + 4y -4y = 14

0 = 0

 

Se trata de una identidad que se cumple para cualquier valor de “y”.

Para cada valor de “y” la incógnita “x” toma el valor:

x = (7 + 2y) / 3

 

Hay por tanto infinitas soluciones: cada valor que tome la incógnita ”y”, la variable “x” tomará un valor en función de la fórmula anterior. Cada uno de estos infinitos pares de valores (x, y) hacen cumplir la igualdad de este sistema de ecuaciones.

 

b) Método de igualación:

Despejamos la “x” en ambas ecuaciones:

 

1ª ecuación:

3x – 2y = 7

3x = 7 + 2y

x = (7 + 2y) / 3

 

2ª ecuación:

6x – 4y = 14

6x = 14 + 4y

x = (14 + 4y) / 6

 

Igualamos las dos expresiones

(7 + 2y) / 3 = (14 + 4y) / 6

14 + 4y = 14 + 4y

0 = 0

 

Se trata de una identidad que se cumple para cualquier valor de “y”.

 

c) Método de reducción:

3x – 2y = 7

6x – 4y = 14

 

Vamos a eliminar la incógnita “x” y para ello a la primera ecuación le restamos la segunda, pero previamente vamos a multiplicar ambos miembros de la primera ecuación por 2 para que la incógnita “x” tenga el mismo coeficiente en ambas ecuaciones.

 

La primera ecuación queda:

6x – 4y = 14

 

Procedemos a restar:

6x – 4y = 14

6x – 4y = 14

-----------------

0 = 0

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