Ecuación polinómica racional

La ecuación polinómica racional es aquella ecuación que contiene fracciones polinómicas, es decir, fracciones en las que figura la incógnita en el denominador:

La ecuación polinómica racional tiene la forma:

polinomica1

Siendo p(x) y q(x) dos polinomios.

polinomica2

Un método para resolver este tipo de ecuaciones es hallar fracciones equivalentes en las que todas tengan el mismo denominador de forma que podamos eliminar los denominadores.

 

Ejemplo 1º

polinomica3

 

Hallamos fracciones equivalentes con el mismo denominador:

polinomica4

Como ambas fracciones tienen el mismo denominador, estos se pueden eliminar, quedando:

10x – 10 = 4x

Y resolvemos como una ecuación polinómica:

6x = 10

x = 10 / 6

x1 = 1,6666

Una vez calculada la solución tenemos que comprobar 2 cosas:

a) Qué cumple la condición de existencia: es decir, que la solución calculada no haga cero el denominador de ninguna de las fracciones en las que figura la incógnita (una fracción con denominador 0 no tiene solución ya que toma valor ∞).

En el ejemplo:

polinomica5

Calculamos los valores que hacen 0 el denominador:

X = 0

Comprobamos que la solución calculada (x1 = 1,6666) es ≠ 0

b) Verificamos que la solución calculada hace cumplir la igualdad de la ecuación. Ya que con las transformaciones realizadas podemos hallar una raíz que no cumpla la igualdad de la ecuación inicial y por lo tanto no sea solución de la misma.

polinomica6

Si una solución calculada no hace cumplir la igualdad en la ecuación original decimos que se trata de una solución extraña. Realmente no es una solución, de ahí la importancia de comprobar que las soluciones calculadas sí funcionan en la ecuación original.

 

 

Ejemplo 2º

polinomica7

Como ambas fracciones tienen el mismo denominador, estos se pueden eliminar, quedando:

2x – 2 = x + 1

Resolvemos como una ecuación polinómica:

2x – 2 = x + 1

2x – x = 1 + 2

x1 = 3

a) Comprobamos que cumple la condición de existencia:

Calculamos los valores que hacen 0 los denominadores donde figura la incógnita:

3x + 4 = 0

3x = -4

x = -4 / 3 = -1,3333

La solución calculada (x1 = 3) es ≠ -1,3333

 

b) Verificamos que la solución calculada hace cumplir la igualdad de la ecuación.

polinomica8

 

Ejemplo 3º

polinomica9

Calculamos fracciones equivalentes con el mismo denominador. El denominador común de ambas fracciones será el producto de los denominadores: 5 * (x – 1)

polinomica10

Al ser iguales los denominadores podemos eliminarlos:

polinomica11

Esta ecuación la podemos resolver aplicando el método de resolución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

polinomica12

 

a) Comprobamos que las soluciones cumplen la condición de existencia:

Calculamos los valores que hacen 0 los denominadores donde figura la incógnita:

x – 1 = 0

x = 1

Las soluciones calculadas (x1 = 16,307 y x2 = -0,307) son ≠ 1

 

b) Comprobamos en la ecuación inicial si estas soluciones hacen cumplir la igualdad:

1ª solución:

polinomica13

2ª solución

polinomica14

 

 

Ejemplo 4º

polinomica15

Calculamos fracciones equivalentes con el mismo denominador. El denominador común de estas fracciones es el producto: (x – 1) * (x + 3)

polinomica16

Al ser iguales los denominadores podemos eliminarlos:

polinomica17

a) Comprobamos que la solución cumple la condición de existencia:

Calculamos los valores que hacen 0 a los denominadores donde figura la incógnita:

x – 1 = 0, luego x = 1

x + 3 = 0, luego x = -3

La solución calculada (x1 = -2,2) es ≠ 1 y es ≠ -3

 

b) Comprobamos si en la ecuación inicial esta solución hace cumplir la igualdad:

polinomica18

 

 

Ejemplo 5º

polinomica19

Calculamos fracciones equivalentes con el mismo denominador.

Sabemos que:

polinomica20

El denominador común de estas fracciones es: polinomica21

Por lo tanto:

polinomica22

Al ser iguales los denominadores podemos eliminarlos, quedando:

polinomica23

Operamos:

polinomica24

Esta ecuación la podemos resolver aplicando el método de resolución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

polinomica25

 

a) Comprobamos que las soluciones cumplen la condición de existencia:

Calculamos los valores que hacen 0 los denominadores donde figura la incógnita:

polinomica26

Las soluciones calculadas (x1 = 7,110 y x2 = -2,110) son ≠ ±3

 

b) Comprobamos en la ecuación inicial si estas soluciones hacen cumplir la igualdad:

 

1ª solución:

polinomica27

 

2ª solución:

polinomica28

Las dos soluciones calculadas hacen cumplir la igualdad en la ecuación original, por lo que son efectivamente soluciones de estas.

 

 

Ejemplo 6º

polinomica29

El denominador del miembro de la derecha se puede expresar:

polinomica30

Calculamos fracciones equivalentes con el mismo denominador.

polinomica31

Como los denominadores son iguales podemos eliminarlos. La ecuación quedaría:

6x = 3x + 2

Operamos:

6x - 3x = 2

3x = 2

x1 = 2 / 3 = 0,6666

a) Comprobamos que la solución cumple la condición de existencia:

Calculamos los valores que hacen 0 los denominadores donde figura la incógnita:

polinomica32

La solución calculada (x1 = 0,6666) es ≠ 2 y es ≠ 0

 

b) Tenemos que comprobar que en la ecuación inicial hace cumplir la igualdad:

polinomica33

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