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Ecuación polinómica irracional

La ecuación polinómica irracional (o ecuación con radicales) es aquella en la que al menos una incógnita figura como radicando de una raíz.

polinomicas1

 

Siendo p(x) y q(x) dos polinomios.

Veamos un ejemplo:

polinomicas2

Para resolver este tipo de ecuaciones se deja sólo un radical en uno de los miembros de la ecuación y el resto de la ecuación en el otro miembro (donde puede haber otros radicales).

 

Se elevan al grado de la raíz ambos miembros; de esta manera conseguimos eliminar la raíz del primer miembro.

 

Si la ecuación tiene más radicales se repite este proceso (aislando cada vez un radical en uno de los miembros de la raíz y elevando ambos miembros al grado de ese radical para hacerlo desaparecer) tantas veces como sea necesario hasta conseguir eliminar todos los radicales.

 

Una vez que se calculen las soluciones hay que comprobar que son válidas en la ecuación inicial ya que en el procedimiento seguido para eliminar radicales elevamos la ecuación a una potencia, con lo que podemos obtener soluciones de la ecuación inicial junto a otras que no lo sean.

 

Ejemplo 1º

polinomicas3

polinomicas4

 

Vemos que sí hace cumplir la igualdad, por lo que la solución calculada (x1 = 8,3333) sí es solución de la ecuación original.

 

 

Ejemplo 2º

polinomica5

Aislamos el radical en el primer miembro de la ecuación:

polinomica5

 

Elevamos ambos miembros al cuadrado:

polinomica6

 

Hemos eliminado el radical del primer miembro de la ecuación. Continuamos simplificando:

polinomica7

 

Multiplicamos ambos miembros por (-1) para dejar en positivo el término de mayor grado polinomica9

polinomica8

 

Resolvemos como una ecuación de segundo grado con una incógnita:

polisemicas10

-0,768 = -7

 

La primera solución (x1 = 6,308) sí hace cumplir la igualdad de la ecuación inicial por lo que sí es solución de la misma. En cambio la segunda (x2 = 1,942) no hace cumplir dicha igualdad por lo que no es solución de la ecuación inicial.

 

 

Ejemplo 3º

polisemicas11

 

 

a) Como la incógnita figura en el denominador comprobamos que cumple la condición de existencia:

Calculamos los valores que hacen 0 el denominador donde figura la incógnita:

x - 7 = 0

x = 7

 

 

Las soluciones calculadas (x1 = 2,487 y x2 = -16,487) son ≠ 7

b) Comprobamos en la ecuación inicial si estas soluciones hacen cumplir la igualdad:

polinomicas12

-1 = 1

 

 

La primera solución no hace cumplir la igualdad de la ecuación por lo que no es una solución válida.

polisemicas13

 

La segunda solución tampoco hace cumplir la igualdad de la ecuación por lo que no es una solución válida.

 

 

Ejemplo 4º

polisemicas14

 

En este ejemplo figuran 2 radicales. Hay que eliminar ambos pero secuencialmente: primero eliminamos uno y luego el otro.

polisemicas15

 

Dejamos el primer radical sólo en el primer miembro de la ecuación pasando todo lo demás al segundo miembro de la ecuación. A continuación elevamos al cuadrado.

polisemicas16

 

Hemos eliminado el radical del primer miembro de la ecuación. Tenemos que eliminar ahora el segundo radical, pero primero simplificamos:

polisemicas18

 

Dejamos sólo el radical en el primer miembro de la ecuación:

polisemicas19

 

Elevamos ambos miembros al cuadrado:

polisemicas20

 

Comprobamos si esta solución hace cumplir la igualdad de la ecuación inicial:

polisemicas21

No cumple la igualdad por lo que x1 = 4 no es solución de la ecuación inicial.

 

 

Ejemplo 5º

polisemicas23

 

En este ejemplo figuran 3 radicales. Hay que eliminar los tres pero secuencialmente: primero eliminamos uno y así sucesivamente.

polisemicas

 

Dejamos el primer radical sólo en el primer miembro de la ecuación pasando todo lo demás al segundo miembro de la ecuación. A continuación elevamos al cuadrado.

polisemicas24

 

Simplificamos pasando todos los términos al miembro de la izquierda:

polisemica25

 

 

Dejamos nuevamente el radical sólo en el primer miembro de la ecuación pasando todo lo demás al segundo miembro de la ecuación. A continuación elevamos al cuadrado.

polisemica26

polisemicas27

 

 

Resolvemos:

polisemica27

 

 

Son raíces de número negativos que no tienen solución. Por lo tanto la segunda solución no hace cumplir la igualdad de la ecuación por lo que no es una solución válida.

 

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