Ecuación exponencial

La ecuación exponencial entra dentro del grupo de ecuaciones no polinómicas. En ella la incógnita aparece en el exponente.

Veamos algunos ejemplos:

exponencial1

 

Para resolver las ecuaciones exponenciales hay diversos métodos:

a) Operar con la ecuación para conseguir que los dos miembros de la ecuación tengan la misma base.

Si:

exponencial2

Al tener la misma base igualamos los exponentes:

x + 1 = 3

 

b) Aplicar logaritmos:

Aplicamos logaritmos de la misma base a ambos miembros de la ecuación:

exponencial3

 

Y ya podemos resolver como una ecuación polinómica.

 

c) Cambio de incógnita: este método se suele utilizar cuando la ecuación es más compleja.

exponencial4

 

Hacemos un cambio de variable: exponencial5

Por lo que: exponencial6

La ecuación quedaría: exponencial7

 

Y la resolveríamos como una ecuación polinómica. Una vez calculada la raíz “y” de esta ecuación, calcularíamos “x” aplicando su relación de equivalencia.

En todo caso, cuando el alumno se enfrenta a la resolución de una ecuación exponencial a veces debe operar previamente, transformando la ecuación, simplificándola, antes de poder aplicar alguno de los métodos anteriores.

Veamos diversos ejemplos:

 

a) Ejemplos de ecuaciones resueltas aplicando el método de igualar las bases y/o el método de aplicar logaritmos.

 

1er ejemplo

exponencial8

1.1. Igualando las bases:

exponencial11

Al tener la misma base igualamos los exponentes:

exponencial9

 

Comprobamos en la ecuación original si esta solución satisface la igualdad:

exponencial10

 

Por lo tanto la solución hallada (x1 = 1) es solución de la ecuación inicial.

 

1.2. Aplicando logaritmos:

Aplicamos logaritmos de la misma base a ambos miembros de la ecuación.

exponencial12

 

2º ejemplo

exponencial13

2.1. Igualando las bases:

Operamos tratando de buscar que tengan la misma base en ambos miembros:

exponencial14

exponencial15

Al tener la misma base igualamos los exponentes:

exponencial16

 

Comprobamos en la ecuación original si esta solución satisface la igualdad:

exponencial17

Por lo tanto la solución hallada (x1 = -2,5) es solución de la ecuación inicial.

 

2.2. Aplicando logaritmos:

Aplicamos logaritmos de la misma base a ambos miembros de la ecuación.

exponencial18

 

 

3er ejemplo

exponencial19

Luego:

exponencial15

Al tener la misma base igualamos los exponentes:

exponencial21

Y seguimos operando:

exponencial22

 

Comprobamos en la ecuación original si esta solución satisface la igualdad:

exponencial23

Por lo tanto la solución hallada (x1 = 3,25) es solución de la ecuación inicial.

 

 

4º ejemplo

exponencial24

 

4.1. Igualando las bases:

En primer lugar vamos a operar con la ecuación para tratar de tener la misma base en ambos miembros.

Si nos fijamos en el miembro de la derecha podemos ver:

exponencial25

exponencial26

 

Comprobamos en la ecuación original si esta solución satisface la igualdad:

exponencial27

 

Por lo tanto la solución hallada (x1 = -0,4286) es solución de la ecuación inicial.

 

 

5º ejemplo

exponencial28

5.1. Igualando las bases:

En primer lugar vamos a operar con la ecuación para tratar de tener la misma base en ambos miembros.

Si nos fijamos en el miembro de la derecha podemos ver:

exponencial29

 

Aplicando una propiedad de la potencia tenemos:

exponencial30

 

Sustituyendo en la ecuación inicial:

exponencial31

 

Con esta transformación hemos conseguido tener la misma base en ambos miembros de la ecuación, por lo que podemos igualar los exponentes:

7x - 2 = -3

7x = -1

x1 = -1 / 7 = -0,1429

 

Comprobamos en la ecuación original si esta solución satisface la igualdad:

exponencial32

 

Por lo tanto la solución hallada (x1 = -0,1429) es solución de la ecuación inicial.

 

 

6º ejemplo

exponencial33

6.1. Igualando las bases:

Luego:

exponencial34

Al tener la misma base igualamos los exponentes:

exponencial35

 

Y seguimos operando:

exponencial36

 

Comprobamos en la ecuación original si esta solución satisface la igualdad:

exponencial37

 

Por lo tanto la solución hallada (x1 = -13) es solución de la ecuación inicial.

 

 

7º ejemplo

exponencial38

 

7.1. Aplicando logaritmos:

Luego:

exponencial39

 

Comprobamos en la ecuación original si esta solución satisface la igualdad:

exponencial40

Por lo tanto la solución hallada (x1 = -0,8480) es solución de la ecuación inicial.

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