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sábado, 18 agosto 2018 español
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¿Cómo Funciona AulaFácil?

Energía potencial asociada a una fuerza conservativa

Volvemos a repetir el concepto del Trabajo (decían los antiguos: “la repetición es la madre de la sabiduría”).

Un cuerpo para trasladarse del punto A al punto B recorre un camino e:

energía

El Trabajo nos viene dado por el producto de la componente paralela de la Fuerza que aplicamos en cada punto del recorrido, multiplicada por la distancia recorrida: W = F . d

Una forma INCORRECTA de calcular el Trabajo sería, sumar todos los productos de F por la distancia que existe entre dos puntos consecutivos. Para que no sea INCORRECTA, los puntos donde aplicamos la Fuerza tendrían que estar pegados unos a otros.

energía

Para ello incrementamos el vector que nos va indicando la posición que ocupa el móvil.

En (1) el incremento de es energía vector representado por el vector energía(en color rojo) NO corresponde al camino recorrido por el cuerpo.

Aunque el incremento haya sido pequeño, existe una importante diferencia entre energía y la distancia del camino comprendido entre los puntos C y D.

Para hacer nulas estas diferencias (2) entre el incremento del vector energía y el arco correspondiente del camino e recorrido hacemos que el valor del incremento tienda a energía con lo que, pasando al cálculo infinitesimal escribimos: energia

La suma o integración de los (productos energía comprendidos entre los puntos A y B) vendrá dada por:

energía

En la figura siguiente:

energía

tenemos el camino (en color verde) que recorre un cuerpo sometido a una Fuerza conservativa referido al eje y entre los puntos A y B.

Según lo estudiado anteriormente el Trabajo lo escribimos energía pero ateniendo a lo representado en la figura y tomando como diferencial a la ordenada al mismo tiempo que sustituimos a la Fuerza F por mg (por tratarse de una fuerza conservativa), efectuando operaciones paso a paso tenemos:

energía

Cuando trabajamos con una fuerza conservativa podemos decir que el Trabajo realizado por ella en el desplazamiento entre los puntos A y B es igual a la diferencia de sus Energías potenciales entre dichos puntos.

 

3.33 Un cuerpo de 20kg desciende (partiendo del reposo y sin rozamientos) por un plano inclinado de 30º llegando al final del mismo con una velocidad de 20m/s.

Respuesta: 40,82m

Solución

En primer lugar dibujamos de acuerdo con el contenido del texto:

energía

Además de la longitud del plano inclinado desconocemos la altura (h).

Sabemos que cuando en un sistema solamente actúan fuerzas conservativas la Em se mantiene constante.

hi a la altura inicial

hf a la altura al final del deslizamiento

vi a la velocidad inicial

vf a la velocidad final

energía

Como la altura final, al llegar al plano horizontal es 0 el primer sumando vale 0, es decir, la Ep vale 0.

La Ec en el punto más alto del plano inclinado vale 0 porque la velocidad es cero.

Teniendo en cuenta lo que acabamos de escribir y sustituyendo valores tenemos: energía

Despejamos la altura después de simplificar ambos miembros de la igualdad por 20:

energía

Llamando l a la longitud del plano inclinado tenemos que:

energía

 

3.34 Con los datos que presenta la siguiente figura, suponiendo que no existe rozamiento y dejando deslizar a la caja ¿con qué velocidad llega al punto más bajo del plano?

energía

Respuesta: 6,26m/s

Solución

No hay más fuerzas que la gravedad.

La Em es la misma en todos los puntos del plano.

Representamos por: 

hi a la altura en lo más alto del plano.

hf a la altura en lo más bajo del plano.

vi a la velocidad inicial.

vf a la velocidad final.

La igualdad siguiente nos permite calcular la velocidad de llegada a la parte más baja del plano:

energía

Simplificando por m y sabiendo que la Ec en lo más alto del plano al no haber velocidad es cero lo mismo que su Ep en lo más bajo del plano por no haber altura podemos escribir:

energía

Llegando a la igualdad: energía

La altura equivale a: energía

Sustituimos este valor en (I):  energía

 

3.35 Calcula el Trabajo que realizas al subir una caja de 10kg a una altura de 2m sin utilizar ningún plano inclinado y utilizándolo sabiendo que la inclinación es de 30º. No se tienen en cuenta los rozamientos.

1)¿Cuál es la diferencia de los Trabajos realizados en cada caso?

2)¿Cuál es la diferencia de las Fuerzas utilizadas en cada caso?

Respuestas:

1ª) No existen diferencias en cuanto al Trabajo

2ª) Usando el plano inclinado ahorro Fuerza

Solución

Dibujamos la figura correspondiente:

energía

Si no utilizo un plano inclinado el Trabajo es:

energía

También podría haber calculado el Trabajo basándome en la Ep:

energía

Ahora calculo el Trabajo teniendo en cuenta sus Ec:

energía

Necesitamos conocer el valor de v:

energía

Sustituimos este valor en (I):

energía

Con plano inclinado o sin él, el Trabajo es el mismo.

La Fuerza sin utilizar el plano es: energía

También podía haberlo calculado: energía

Utilizando el plano inclinado debo conocer la longitud del mismo que lo represento por lenergía

Deduzco el valor de la F fijándome en la figura siguiente: 

energía

Compruebo que F equivale a: mg.sen 30º = 10 . 9,8 . 0,5 = 49N

Con el plano inclinado hago menos Fuerza, en este caso, la mitad.

 

3.36 Un tipo de problema que pocas veces falta cuando tratamos el tema del que nos estamos ocupando es el de calcular la altura a la que debe encontrarse un objeto, la bola roja en nuestro caso, de 10kg para que partiendo del reposo tenga la suficiente Energía para describir el bucle vertical de 3m de radio.

¿Cuál es la velocidad a su paso por el punto A?

La figura la representamos del modo siguiente:

energía

 

Respuesta: v = 5,42m/s, h = 7,5m

Solución

Analizamos los pasos de la bola por el punto más bajo (I) y más alto (II) del bucle vertical.

energía

En (I) la bola está sometida a la fuerza de la gravedad y por reacción actúa el suelo del bucle (la Normal) con dirección al centro del bucle.

¿Cuánto vale la Normal en la posición (II)?

Ahora el suelo del bucle lo tiene ENCIMA, no está debajo lo que significa que no hay fuerza Normal, o si quieres, N = 0.

No olvidemos que estamos analizando un movimiento circular y que cuando la bola se halle en la posición (II) NO SE DEBE CAER sino continuar el camino que señala el bucle.

Recuerda que en todo movimiento circular existe una Fuerza centrípeta:

energía

Esta Fuerza centrípeta (Fc) es la que produce el cambio de dirección de la velocidad que se produce en cada instante.

El móvil tiende a seguir su camino recto, es la cuerda la que ejerce una Fuerza y mantiene su movimiento circular.

¿Cuál es el valor de la Fc en la posición (I)?

Simplemente:  energía

¿Cuál es el valor de Fc en la posición (II)?

Según la figura tanto el peso P como la Normal tienen el mismo sentido:

energía

Pero no nos olvidamos que en ese punto, N vale 0.

Como hay una variación de velocidad (aunque se mantenga constante está variando su dirección) se produce una aceleración centrípeta. Lo estudiamos en el Tema correspondiente a la Cinemática: la aceleración centrípeta nos viene dada por energía siendo v la velocidad lineal.

La Fuerza centrípeta será: energía 

Esta Fuerza debe ser, por lo menos, igual al peso del móvil.

Establecemos la siguiente igualdad: energía

Simplificando ambos miembros de la igualdad por energía 

También podíamos haber llegado al mismo resultado desde (*)  

energía donde sustituimos la ac por su valor:

energía y como N en el punto A vale 0 simplificando los dos miembros de la igualdad por m llegamos a: energía

Sustituyendo valores que conocemos: 

energía

Para lograr la velocidad indispensable que acabamos de calcular es preciso conocer la altura (h) desde la que la bola debe comenzar a deslizarse.

Contamos con los datos siguientes:

Energía cinética a la altura h: ……. energía

Energía potencial en la altura h:….. energía

Energía cinética en A:…………….. energía

Energía potencial en A:……………  energía

 

Sabiendo que la Emh de la bola antes de comenzar a deslizarse es: energía  y la energía siendo ambas Energías mecánicas son iguales, establecemos la igualdad siguiente: 

energía

Completando sustituciones de valores conocidos y simplificando por m que lo tenemos como factor en todos los términos:

energía

Despejamos el valor de h:

energía

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