La velocidad como la derivada de la distancia

Sabemos por matemáticas que en las derivadas distinguimos:

 

La variable independiente y la que está en función de ella.

Ejemplo: cinematica301

 

Tenemos una ecuación cuya variable independiente es el tiempo y la dependiente es el espacio recorrido.

 

El espacio recorrido depende del tiempo que dure el movimiento rectilíneo.

Cualquier incremento del tiempo supone su correspondiente incremento del espacio y cuando este incremento del tiempo (de la variable independiente) tiende a cero quien nos resuelve el incremento correspondiente a la función es la derivada.

 

En matemáticas estudiamos que la derivada y’ de una función (y) equivale al cociente del incremento de la función (Δy) dividido por el incremento de la variable (Δx) cuando ésta tiende a 0 y la expresamos:

cinematica302

 

El cociente del segundo término de la igualdad, indica el cociente entre el incremento del espacio y el incremento del tiempo.

cinematica303

 

Pero el cociente cinematica304  cuando t tiende a cero es la velocidad en un determinado instante que lo podemos calcular hallando la derivada (y’) de la función.

 

La derivada en este caso, nos indica el valor de la velocidad en el instante que deseamos.

 

Los últimos ejercicios podíamos haberlos resuelto directamente con una simple derivada.

(Si necesitas recordar las derivadas e integrales las tienes en aulafacil.com).

 

1.74 La posición de un móvil sobre una trayectoria rectilínea equivale a la expresión: cinematica305.

Cuál es la velocidad que lleva en el segundo 6?

Respuesta: 336 m/s

Nos ahorramos bastante trabajo con el solo hecho de derivar la expresión:

 

La velocidad corresponde al cociente de las diferenciales espacio y tiempo, o incremento de la función e(t) dividido por el incremento del tiempo (t) cuando éste tiende a 0 que puedes escribir:

cinematica306

 

Para conocer la velocidad en el segundo 6 no tenemos más que sustituir t por cinematica307.

 

1.75 Dadas las expresiones cinematica308 ¿cuál de ellas posee velocidad constante y porqué?

Respuesta: La primera porque no depende del tiempo.

 

Solución.

Es suficiente que derives ambas expresiones:

Derivamos la primera:

cinematica309

 

Como ves, la respuesta es 3 m/s sin depender del tiempo (no aparece t en la respuesta).

En cambio, en la segunda expresión tenemos:

cinematica310

 

y en este caso vemos que la velocidad está dependiendo del tiempo (es el producto de 6 por los valores de t).

 

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