Velocidad instantánea y su módulo

En el momento que el intervalo del tiempo tiende a cero podemos referirnos a la velocidad instantánea y la representamos del modo siguiente: 

cinematica256

 

Pero sucede que cuando cinematica254 el valor de cinematica257 coincide con cinematica258 según hemos visto por lo que podemos decir que también:

cinematica259

 

En este caso, el módulo de cinematica260 equivale a la rapidez.

Cuando hablamos de velocidad nos referimos al vector velocidad instantánea.

 

1.70 Un móvil da una vuelta al circuito rectangular que tienes a continuación:

cinematica261

 

en 5 segundos saliendo del punto rojo y llegando al mismo lugar.

1.- Calcula el espacio recorrido

2.- El vector de desplazamiento

4ª.- El vector velocidad media

Respuestas: 1ª 20 m.; 2ª 0 m.; 3ª 4 s.; 0 m.

 

 
Solución

El perímetro del rectángulo es de 20m.

El valor absoluto del vector desplazamiento vale 0 m. porque su punto inicial y final es el mismo.

La rapidez media nos viene dada por el cociente del camino que ha recorrido el móvil y el tiempo empleado, es decir, cinematica262.

 

El valor del vector velocidad media como nos viene dado por el cociente cinematica263 y el numerador vale 0 su cociente también tendrá este valor.

 
 

 
LA VELOCIDAD INSTANTÁNEA EN UN PUNTO COMO LÍMITE DE cinematica264 CUANDO cinematica254

 
 

Sabemos que el espacio a recorrer está en función del tiempo, es decir, cuanto más tiempo estás caminando, mayor será el camino recorrido por lo que cinematica265.

 

Haciendo uso de lo estudiado en matemáticas en lo que se refiere a límites puedo escribir que la velocidad instantánea en un punto lo escribo:

cinematica266

 

En un eje de coordenadas el eje de abscisas representa los valores del tiempo y el de ordenadas los espacios:

cinematica267

 

En un momento dado, cuando el tiempo señala t (eje de abscisas) el punto correspondiente de la función corresponde a f(t) (eje de ordenadas).

 

Incrementamos el tiempo en Δt (color verde eje de abscisas) con lo que su valor correspondiente en la función es cinematica268  (color naranja eje de ordenadas).

 

La velocidad instantánea nos viene dada por el cociente del espacio recorrido entre los tiempos cinematica269 y t  , es decir,  cinematica270  que corresponden a    menos   cuando el   que lo escribimos: 

cinematica271

 

1.71 Sabiendo que el espacio recorrido está en función del tiempo, ¿cuál es la velocidad instantánea (en función del tiempo) de un móvil cuyo movimiento corresponde a la ecuación cinematica272?

 

Respuesta: 6t

 

Solución.

Una vez que hayas entendido perfectamente la deducción de la fórmula anterior, no tienes más que aplicarla:

 

Sustituyes los valores que conoces, teniendo en cuenta que t se halla elevada al cuadrado y multiplicada por 3:

cinematica273

 

Hacemos operaciones dentro de los corchetes:

cinematica274

 

Eliminamos los corchetes y reducimos términos semejantes:

cinematica275

 

 

Nota. No elimines los términos que contengan cinematica276 por tender a 0 porque puedes crear indeterminaciones.

 

Antes de tomar límites dividimos todos los términos por cinematica276:

Nos queda: 

cinematica277

 

El concreto valor de t multiplicado por 6 nos da la velocidad del móvil en ese instante.

 

1.72 Sabiendo que el movimiento de un móvil corresponde a cinematica278 calcula la velocidad instantánea (en m.) cuando t = 3 s.

Respuesta: 6m/s.

 

Solución.

Las operaciones a realizar paso a paso son:

cinematica279

 

 

1.73 El vector de posición de un móvil es cinematica280

Cuáles son el vector velocidad instantánea y su módulo cuando t vale 5 s?

Respuestas: cinematica281

 

Solución.

Tenemos un vector de posición (en función del tiempo) que nos han dado: 

cinematica282

Incrementamos el tiempo t en una cantidad muy pequeña Δt que tiende a 0.

 

Dado que hemos incrementado (aunque sea un infinitésimo) el tiempo tenemos un nuevo vector de posición: cinematica283  que equivale a: cinematica284.

 

Como ves, en este caso, no hemos hecho nada más que sustituir t por cinematica285.

Sabemos que la velocidad media entre los momentos cinematica285  y t lo podemos escribir:

 cinematica286

 

Sabemos que el vector de posición después del incremento del tiempo es:  cinematica287  y antes del incremento:  cinematica288.

por lo que: 

cinematica289

 

Haciendo operaciones tenemos:

 cinematica290

 

Hemos dividido a cada sumando del numerador por cinematica276 antes de tomar límites para evitar indeterminaciones como cinematica291.

 

Una vez obtenida la primera respuesta no tienes más que sustituir t por 5 (módulo del vector velocidad del móvil en el segundo 5):

cinematica292

 

 

 

EL VECTOR DE LA VELOCIDAD INSTANTÁNEA ES TANGENTE A LA TRAYECTORIA.

Podemos demostrar que el vector velocidad es tangente a la trayectoria del siguiente modo:

cinematica293

 

En la figura vemos en azul la trayectoria a recorrer por el móvil.

 

En el eje de ordenadas ves las posiciones P0 y P1 que ocupa el móvil en los segundos 5 y 7, respectivamente situados en el eje de abscisas.

 

El vector de desplazamiento está situado en la recta R que como ves, es secante en los puntos P0 y P1, formando un ángulo α con la paralela al eje x.

 

Los incrementos de tiempo y posición nos vienen dados por cinematica276 = (7 - 5) para el tiempo y  cinematica294   para el vector de desplazamiento.

 

A medida que disminuimos el valor del incremento del tiempo, los puntos de los vectores de posición se aproximan como podemos comprobar en la siguiente figura:

 

 

cinematica295

 

Como ambos incrementos han disminuido sus valores, el valor del ángulo disminuye.

El cateto opuesto al ángulo cinematica296 es cinematica298 y cinematica297 el contiguo. Sabemos que la tangente de un ángulo es igual al cociente del cateto opuesto  cinematica297  dividido por el cateto contiguo cinematica298 :

 cinematica299

 

Cuando cinematica254, es decir, el incremento del tiempo es un infinitésimo nos hallamos en que los puntos P0 y P1 se juntan formando uno solo que corresponde al lugar en que el vector de la velocidad instantánea se ha convertido en una recta tangente a la trayectoria:


cinematica300

 

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