Ecuaciones del movimiento armónico simple

Quizá te hayas preguntado el por qué centrarnos en el movimiento armónico simple (decimos simple porque hay otros “miembros de la familia” como movimiento armónico complejo, movimiento armónico forzado, etc.) y no en el oscilatorio, vibratorio, etc.

 

El movimiento armónico simple viene a ser como el común denominador de otros movimientos porque al oscilar a un lado y otro del punto de equilibrio manteniendo los tiempos iguales en cada “vaivén” (va y viene pasando por el punto de equilibrio invirtiendo el mismo tiempo cada vez), es lo que provocas al rozar la cuerda de una guitarra. La haces vibrar y escuchamos un sonido debido a que al número de idas y venidas por segundo pasando siempre por el punto de equilibrio es muy elevado. 

 

El movimiento oscilatorio no es más que un movimiento de un móvil que se mueve periódicamente a un lado y otro respecto a la posición de equilibrio.

 

Conceptos que utilizamos.

Amplitud: Es la distancia del punto de equilibrio a cualquiera de los extremos del movimiento y se representa con cinematica747:

 

cinematica748

 

En esta última figura, sea en la representación pendular o sinusoidal tienes indicada la amplitud.

 

Elongación: Es la distancia que hay desde el punto de equilibrio hasta el lugar que ocupa el móvil en un instante determinado.

 

1.129 ¿Tienen algo en común la elongación y la amplitud?
Razona tu respuesta.

Respuesta: Sí. La amplitud equivale a ser la máxima elongación.

 

Cálculo de la elongación
Vas a fijarte en la figura siguiente

 

cinematica749

 

Suponemos que el movimiento comienza (t = 0) a partir del comienzo del arco que corresponde al primer cuadrante, digamos a partir de 0º.

El ángulo recorrido depende de la velocidad angular ω y del tiempo cinematica750 
El valor de la elongación en un momento determinado, en la figura queda representado por x.

Ves que x equivale al cos ωt donde el radio de la circunferencia es la amplitud y podemos escribir:

 

cinematica751

 

Ahora, supongamos que el tiempo comenzamos a contar cuando el móvil pasa por el punto de equilibrio (punta de flecha de color verde), es decir, a partir de cinematica752.

 

cinematica753

 

Verás que la posición del ángulo ωt  ha variado y en este momento, la elongación x corresponde al seno del ángulo ωt  que como ves, es igual al cinematica754.

 

Podemos escribir, teniendo en cuenta que la amplitud y el radio tienen el mismo valor:

cinematica755

 

 

1.1​30 Cuando t = 0 las fórmulas: 

cinematica756

¿Son iguales?. Demuestra.

Respuesta: Sí, son iguales.

Solución.
Cuando t = 0 estas fórmulas se transforman en:

 

cinematica757

 

Ves que obtienes el mismo valor.
Si te has fijado, entre una y otra hay un desfase de cinematica752.

 

1.131 Un móvil oscila, con un movimiento armónico simple y una frecuencia de 4 hercios, de 8 cm de amplitud. Calcula sus posiciones cuando t = 0 s y cuando t = 2 s.


Respuestas: 1ª-8 cm y 2ª -8 cm

 

Solución.

Sabemos de cuando estudiamos el movimiento circular que T o
período o tiempo en dar un movimiento completo nos viene dada por:

 

cinematica758

 

La posición nos viene dada por cinematica759  y cambiando ω por cinematica760obtenemos: cinematica761

 

Sustituyendo valores cuando t =0:

cinematica762

 

Cuando t = 2:

cinematica763

 

En ambos casos obtenemos la misma respuesta. Una vuelta completa de circunferencia equivale a 2π y 16π al ser múltiplo de 2π nos encontramos en la misma posición y por otro lado, una vuelta completa de circunferencia comienza en el punto 0 y acaba en el 2π que es el mismo (aunque hayamos dado una vuelta completa).


 

1.132 Un móvil comienza su movimiento armónico simple desde uno de los extremos de su trayectoria que dista del punto de equilibrio 5 cm. tardando 1 s en hacer este recorrido.
Calcula T (período = tiempo en hacer el recorrido completo) y la velocidad angular ω.

Respuestas: T = 4 s ω = 1,57 rad/s

 

Solución.

La medida de la amplitud nos la da el texto:

cinematica764

 

 El valor del período es lo que tarda en ir y volver, es decir, en hacer un movimiento completo: cinematica765

 

 Sabemos que ω podemos obtenerla de: 

cinematica766

 

Sustituimos valores que conocemos y obtenemos:

cinematica767

 


 

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