AulaFacil.com: CLICK AQUÍ para aprender cientos de cursos gratis
Curso gratis de vectores en el plano y en el espacio, aulafacil.com
 
Lección 9ª

 

 

 

 

 

   

 

OPERACIONES CON LOS VECTORES

Suma:


La suma de los vectores es:


21.33 Halla la suma de los vectores:  y .
Respuesta: .

Resta:

Tomando los vectores anteriores nos basta sumar el primero con el opuesto del 2º o sustraendo:

La resta de los vectores es: 


21.34 Halla la resta de los vectores: menos .
Respuesta:

Solución:

Multiplicación:

Hemos de considerar los casos siguientes:

 

a) Multiplicar un escalar por un vector:

El resultado es un valor escalar.

 

Analicemos paso a paso.

Sea el vector , multiplicamos por el número g a ambos miembors de la igualdad:  

Vemos que el producto de un vector por un número se obtiene multiplicando cada com­ponente del vector por dicho número.

 

Comprobamos: 

Si

Multiplicamos por 2 a ambos miembros de la igualdad:   


 Hallamos el módulo:
El módulo de:
 
donde comprobamos que 

21.35  Si las coordenadas de son ¿Cuáles son las coordenadas de ?
Respuesta:

b) Producto de dos vectores:

Vamos a considerarlos de las dos formas como lo hicimos cuando estudiamos los vectores en el plano:

 

1) Suponemos que los vectores pertenecen a la base ortogonal (forman entre ellos 90º):

Sean y dos vectores cuyos valores son:

donde  son los coeficientes de x, y, z en este caso y en el futuro.

 

Multiplicamos los vectores:

Quitamos paréntesis:

Recuerda:

Los vectores unitarios  

al ser ortogonales tienen por coordenadas:

Para multiplicar las coordenadas de un vector por las de otro, siempre que sean ortogonales, como veremos un poco más adelante, se multiplica el primer valor del primer vector por su correspondiente en cada uno de los otros dos vectores sumando los valores obtenidos de los productos.

 

Tienes que tener en cuenta que:


Si estos valores los llevas a:

Todos los términos que contienen productos unitarios de ejes perpendiculares son iguales a cero, por lo que podemos escribir:

El resultado es un escalar que puede ser positivo, negativo o cero.

También se le conoce a este producto con el nombre producto interno o producto punto (debido al signo de multiplicar que estamos utilizando).

 

21.36  Calcula el producto escalar de los vectores:

Respuesta: 32

Solución

2)  Lo estudiamos en Vectores en el Plano. Recordamos, el valor del producto escalar de dos vectores conociendo el ángulo que forman:

Lo único que cambia respecto a lo estudiado en el producto escalar de dos vectores en el plano, es el número de componentes de cada vector que en el espacio son 3 :

 

 Ejemplo:

Tenemos dos vectores con sus correspondientes componentes:

cuyo producto

Los módulos valdrán:


En  

despejamos el coseno del ángulo que forman los dos vectores:



21.37   Tenemos los vectores

Cuánto vale el ángulo que forman estos vectores?

 

Respuesta: 38º aproximadamente.

Solución:

En 

 

sustituimos los valores conocidos:


Si miras en las tablas trigonométricas o en la Hoja de Cálculo o una calculadora verás que corresponde al coseno de 38º aproximadamente.

21.38  Tenemos los vectores  

¿Cuánto vale el ángulo que forman estos vectores?

 

Respuesta: 68º aproximadamente.

21.39  Si los vectores valen

¿Cuánto vale el ángulo que forman estos vectores?

 

Respuesta: 0º

Solución

En  I tenemos el vector  

¿Cuánto vale el ángulo que forman estos vectores?

 

El segundo vector ves que es el resultado de multiplicar por dos las coordenadas del 1º.

 

Aplicando :

tenemos:

Como sabemos que el coseno de 0º vale 1 quiere decir que el ángulo formado por los dos vectores .

21.40  Toma papel, bolígrafo y regla  para representar el vector que tiene por coordenadas (3,4,4) y el origen en (1,1,1).

 

Respuesta:

21.41  Los vectores  

¿puedes asegurar que son perpendiculares?¿Por qué?

 

Respuesta: Sí, porque su producto escalar vale 0.

Solución:

21.42  ¿Cuánto tiene que valer h en el para que sea ortogonal a ?

Respuesta: h = 4 unidades. (En adelante, a las unidades las representaremos con una u)

Solución

Basta que el producto escalar de ambos vectores valga cero:

21.43 ¿Son perpendiculares los vectores  y ? ¿porqué?

Respuesta: No, porque su producto escalar no es 0.

 
     
 

 

AulaFacil.com: CLICK AQUÍ para aprender cientos de cursos gratis