Aplicación del teorema del seno en el caso de un triángulo inscrito en una circunferencia Teorema del Coseno

Aplicación del teorema del seno en el caso de un triángulo inscrito en una circunferencia

 

Primeramente conviene que recuerdes lo que es arco capaz.

En la figura que tienes a continuación verás los ángulos A, B, C, D y E que por ser inscritos(que los vértices se hallan en la circunferencia) valen lo mismo.

Además, los lados que forman cada uno de los ángulos mencionados abarcan la misma longitud de arco de circunferencia AB  (trazo más grueso –color rojo-):

 

trigonometria
 

El arco AB del segmento AB, para el ángulo de 55º es el lugar o lugares geométricos de los puntos del plano desde los que podemos ver el segmento anterior AB bajo el ángulo de 55º.

De la figura anterior tenemos en cuenta solamente lo siguiente:

 

trigonometria

Dado que los dos ángulos A y B valen lo mismo por ser inscritos y además abarcan el mismo arco podemos decir también  que el sen A y el sen B son iguales. Además, sen B = trigono  haciendo uso del teorema del seno podemos escribir:

 

trigonometria

                      

Podemos afirmar que en todo triángulo inscrito en una circunferencia la razón o la relación entre un lado y el seno del ángulo opuesto equivale al diámetro de dicha circunferencia.

Hacemos lo mismo tomando al ángulo C como referencia:

Teorema del coseno:

Se trata de otro sencillo teorema también para la resolución de triángulos.

Partimos del triángulo siguiente:

 

trigonometria
 
 

Trazamos la altura desde el vértice C sobre el lado y fijamos las proyecciones m y de los lados a y b sobre el lado c:

 

 

trigonometria
 
 

Puedes comprobar que los dos triángulos (amarillo y verde) en los que la altura ha formado son rectángulos (H = 90º).

Timando el triángulo amarillo podemos escribir, según el teorema de Pitágoras:


trigonometria
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Según lo que has estudiado podemos decir que:

 

 

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