Suma de los Términos de una Progresión Geométrica

Anteriormente en (1) escribimos:

matematicas-progresiones

Sumo todos los términos que están a la izquierda del signo =
Sumo también los términos que están a la derecha del signo =
A la derecha del signo = veo que todos los términos contienen como factor a la razón, por lo que saco factor común y dentro del paréntesis aparecen la suma de todos los términos de la progresión geométrica menos el último.

matematicas-progresiones

La suma indicada que tienes a la izquierda del signo = representa la suma de todos los términos menos el primero. Podría escribir cuanto tengo a la izquierda del signo = del modo siguiente: matematicas-progresiones, es decir, la suma de todos los términos de la progresión menos el primero.
Lo que tienes dentro del paréntesis a la derecha del signo = es la suma de todos los términos menos el último.
La suma anterior podemos escribirla:

matematicas-progresiones

En la última igualdad quito paréntesis: matematicas-progresiones

Los términos que contienen S los paso a la derecha del = y a la izquierda de este signo el término: matematicas-progresiones matematicas-progresiones

Saco factor común a S: matematicas-progresiones

Despejo el valor de S y me queda:

matematicas-progresiones

La suma de los términos de una progresión geométrica es igual al último término por la razón menos el primero dividido por la razón menos 1.

A veces es mejor usar la fórmula de la suma en función del primer término y de la razón. Para ello sustituyo en la fórmula de la suma el valor de matematicas-progresiones

matematicas-progresiones

Puedo sacar factor común al primer término quedándome:

matematicas-progresiones

16.10    En la progresión geométrica matematicas-progresiones

Total de términos 7           

matematicas-progresiones

Respuestas:

matematicas-progresiones

Solución:

Para calcular la razón dividimos el valor de un término por el del anterior

matematicas-progresiones

matematicas-progresiones

La progresión con todos los siete términos será:

matematicas-progresiones

La suma de todos estos términos:

matematicas-progresiones

16.11    En la progresión geométrica matematicas-progresiones

matematicas-progresiones

Respuestasmatematicas-progresiones

16.12     En una progresión geométrica el primer término vale 1, el segundo 3. …….La suma de todos los términos  29524 ¿Cuántos términos tiene?

Respuesta: 10

Solución:
Conocemos el valor de la suma, la razón y el primer término, aplicando la fórmula de la suma y sustituyendo por sus valores tenemos:

matematicas-progresiones

El denominador 2 pasará multiplicando al otro lado del signo =

matematicas-progresiones

Descomponiendo 59049 en sus factores primos vemos que equivale a matematicas-progresiones

Nos queda como última igualdad matematicas-progresiones

Si las bases de dos potencias son iguales, los exponentes también lo serán, luego, n=10

 

FÓRMULA DE LA SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA CUANDO LA RAZÓN ES MENOR QUE 1 Y EL NÚMERO DE TÉRMINOS INFINITO.

Si a la fórmula:matematicas-progresiones le cambiamos el orden en el que hemos colocado los valores del numerador y del denominador no cambia el resultado. matematicas-progresioneses lo mismo que matematicas-progresiones.

Los valores de S son iguales porque si la razón es mayor que 1, tanto el numerador como el denominador serían negativos, pero el cociente de dos números negativos será positivo. 
Si la razón es menor que 1, tanto el numerador como el denominador serían positivos, y el cociente, también.

Observa la operación siguiente: matematicas-progresionesla puedo escribir: matematicas-progresiones

El resulto es el mismo. Para dividir una suma o diferencia indicada por un número, divido a cada término por el denominador o divisor.

Esto quiere decir que: matematicas-progresiones la puedo escribir:

matematicas-progresiones     

No olvides que estamos tratando el caso en que el número de términos es  (infinito) y la razón es menor que la unidad.

Un número menor que 1 es una fracción de la unidad como matematicas-progresiones, etc...

Si matematicas-progresionesy elevamos este valor a infinito, tendremos matematicas-progresiones

Verás que el numerador vale 1 (sin tener en cuenta las indeterminaciones) mientras que el denominador vale infinito. Sería como dividir 1 entre 123456789000000000000000000 y todavía no llegamos a matematicas-progresiones.El cociente sería algo así, como: 
                                               0,00000000000000000000000000000000000009……….

En realidad, cero.

Luego de la igualdad matematicas-progresionesvemos que:

matematicas-progresiones

Debido a que matematicas-progresionesy este valor por matematicas-progresionesel producto también será cero. Y si a 0 le dividimos por cualquier valor que no sea cero podemos afirmar que el cociente también vale cero con lo que la fórmula para el cálculo de la suma de infinitos términos será:

matematicas-progresiones

16.13 Calcula la suma de los 100 mil millones de términos de la progresión: matematicas-progresiones

Respuestamatematicas-progresiones

Solución:

Hallamos la razón:

matematicas-progresiones

La suma de los infinitos términos será:  

matematicas-progresiones       

16.14 La suma de los infinitos términos de una progresión geométrica indefinida de razón matematicas-progresiones¿Cuánto vale el primer término?

Respuestamatematicas-progresiones

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