Soluciones de Ejercícios

23.44  Los puntos son:  

plano-en-el-espacioplano-en-el-espacio

Calculo las componentes de los vectores:  plano-en-el-espacioplano-en-el-espacio:

plano-en-el-espacio

Para que los puntos estén alineados es preciso que el rango sea igual 1:

plano-en-el-espacio

La segunda fila es dependiente de la 1ª (basta multiplicar por plano-en-el-espacioa cada elemento de la 1ª para obtenerla).

 

23.45  Siendo plano-en-el-espacio un punto cualquiera del plano, el vector que une este punto con vale:

plano-en-el-espacio

Como el producto de los vectores plano-en-el-espacioplano-en-el-espaciopor ser perpendiculares vale cero, podemos escribir:

plano-en-el-espacio

 

23.46  Conocemos, por los datos del problema, que la recta por ser perpendicular al plano plano-en-el-espaciosu vector normal  tiene como componentes: plano-en-el-espacio

Sabemos también, que la recta pasa por el punto plano-en-el-espacio, por lo tanto, será también el vector director de la recta,  y su ecuación en la forma continua la podemos escribir:

plano-en-el-espacio

Sustituimos por los valores que conocemos:

plano-en-el-espacio

La recta queda determinada por estas dos respuestas:

plano-en-el-espacio

23.47  Primero dibujamos los elementos que intervienen en este problema.

plano-en-el-espacio

Sabemos que el producto escalar de dos vectores perpendiculares vale 0, es decir, plano-en-el-espacio.

(Como el producto nos tiene que dar un valor escalar - cero o un número distinto de cero, tendremos que calcular el producto escalar.

Otra cosa sería si tuviésemos que hallar, por ejemplo, los coeficientes de la ecuación de un plano, las componentes de una recta, etc., en estos casos  tenemos que calcular el producto vectorial o producto cruz).

Conocemos las componentes del vector plano-en-el-espacio que son los denominadores de las razones de la ecuación de la recta en la forma continua. El vector plano-en-el-espacio por ser perpendicular al plano sus componentes son los mismos que los coeficientes del plano, es decir, plano-en-el-espacio

Comprobamos si

plano-en-el-espacio

Vemos que no, esto quiere decir que la recta y el plano No son paralelos.

23.48  Conocemos las componentes del vector director (2,1,1).

Las componentes del vector plano-en-el-espacio :

plano-en-el-espacio

Recuerda que una ecuación del plano en su forma general es:

plano-en-el-espacio

y las componentes de la normal son (A, B, C).

Podemos escribir:         

plano-en-el-espacio

Vemos que las componentes de la normal son: plano-en-el-espacio

Ahora podemos calcular la ecuación del plano ya que conocemos los valores de A, B y C:  plano-en-el-espaciosustituyendo valores tenemos: plano-en-el-espacio

Nos falta calcular el valor de D y para ello, dado que conocemos dos puntos del plano que son A y B los sustituimos por cualquiera de ellos.

Tomamos los valores de plano-en-el-espacio y los sustituimos en plano-en-el-espacio    

plano-en-el-espacio

La ecuación del plano es: plano-en-el-espacio

23.49 Al sustituir por las componentes del punto B lo único que varía es el término independiente D, mientras que los coeficientes de las variables permanecen sin cambio. Al variar el valor de D, nos referimos a otro plano paralelo al anterior.
                                      

23.50  Primero comprobamos si los planos se cortan en una recta. Vemos que sí debido a que al ser linealmente independientes los 
datos de las dos ecuaciones:

plano-en-el-espacio

el rango de la matriz formada por los coeficientes y el de su ampliada valen 2, luego son secantes.

plano-en-el-espacio

La recta de intersección de los dos planos es paralela a la recta en el espacio.

Las normales de un punto de la recta a cada plano son plano-en-el-espacioplano-en-el-espacio.

Conocemos las ecuaciones de los planos en su forma general, lo que quiere decir que también conocemos las componentes de sus normales:

Al plano  plano-en-el-espaciole corresponde la normal plano-en-el-espaciocuyas componentes son plano-en-el-espacio

Al plano  plano-en-el-espacio le corresponde la normal plano-en-el-espaciocuyas componentes son plano-en-el-espacio

Sabemos que el vector director de la recta lo podemos obtener por el producto vectorial de los vectores normales:

plano-en-el-espacio

El valor del vector director de la recta nos vendrá dado por el producto vectorial de los vectores plano-en-el-espacioplano-en-el-espacio.

plano-en-el-espacio

plano-en-el-espacio

Recuerda que este método del cálculo del producto vectorial es más breve que hacerlo analíticamente.

Los valores numéricos obtenidos son los correspondientes a las componentes del vector director lo que quiere decir, que conocemos los denominadores de las razones plano-en-el-espacio de la forma continua.El problema nos dice que la recta pasa por el punto plano-en-el-espacio , la ecuación escribiremos:

plano-en-el-espacio

 23.51 Del texto deduzco las componentes del vector director (denominadores de la forma continua):

plano-en-el-espacio.

Necesito conocer otro vector del plano y para ello dispongo de otro punto, llamemos cuyas componentes las encuentro en los numeradores de la ecuación de la recta situada en el plano en la forma continua (cambiadas de signo): plano-en-el-espacio

Calculo el vector plano-en-el-espacioConocemos el vector que une el punto con cualquier punto del plano Q cuyas componentes son x, y, z, luego, el vector :       

plano-en-el-espacio

Tenemos los vectores plano-en-el-espacio y anteriormente dedujimos el determinante que nos sirve para resolver la ecuación implícita del plano cuando conocemos tres vectores en el plano:

plano-en-el-espacio

Sustituyendo valores:

plano-en-el-espacio

Resolvemos:

plano-en-el-espacio

 

23.52  La normal de un plano que pasa por el punto plano-en-el-espacioes plano-en-el-espacio¿cuál es su ecuación?

Con los datos que me  ofrece el texto conozco los coeficientes de x, y, z de la ecuación del plano en su forma general y que corresponden a las componentes de la normal:

plano-en-el-espacio

Añade el problema que uno de los puntos del plano tiene por componentes 2 ,– 1, 3.

Estos valores los sustituyo en plano-en-el-espacio para obtener el valor de d:

plano-en-el-espacio

La ecuación es: plano-en-el-espacio

 

23.53  La ecuación de un plano en la forma segmentaria vale, en este caso:

plano-en-el-espacio

Haciendo operaciones:

plano-en-el-espacio

 

  23.54  El producto vectorial de los vectores normales de las ecuaciones nos da el vector director. Las componentes de los vectores normales son, respectivamente:

plano-en-el-espacio

Vector Directo plano-en-el-espacio

 

23.55  Tomamos la matriz ampliada y a partir de ella efectuamos el cálculo del rango (en fondo amarillo la matriz de coeficientes):

plano-en-el-espacio
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