Haz de Planos Secantes

Si miras en el diccionario de la real academia verás que la palabra HAZ  en lo que se refiere a geometría en general y a planos en particular la define: CONJUNTO DE PLANOS QUE CONCURREN EN UNA RECTA.

Es lo mismo que decir: conjunto de planos que pasan por una recta. 
Podemos representar del modo siguiente:

Haz de Planos Secantes

Si dos planos se cortan en una recta su rango es 2, cualquier otro plano que pase por dicha recta y para que su rango continúe valiendo 2, este plano tendrá que ser una combinación lineal de los otros dos.

Si tienes los planos:

Haz de Planos Secantes

ves que su rango tanto el de coeficientes como el de la ampliada es 2, es decir, se cortan.

Un tercer plano que lo incluimos con los dos anteriores, para que sus rangos (coeficientes y ampliada) sigan valiendo 2 podría ser el que resulta de la suma de los dos primeros:

Haz de Planos Secantes

En este momento tenemos los planos:

Haz de Planos Secantes

cuyos rangos son iguales: rang(M) = 2; rang(M’) = 2 lo que significa que se cortan en una recta.

¿Cuántos planos podemos escribir de modo que todos se corten en dicha recta?
Infinitos. ¿Cuáles son?

Si al primer plano Haz de Planos Secantes le multiplicamos por un número cualquiera, por ejemplo, 2 obtenemos otro plano que depende del primero: Haz de Planos Secantes y que se corta en la misma recta ya que sus rangos (coeficientes y ampliada) sigue siendo 2.
Dado que podemos multiplicar por cualquier número tanto al primero como segundo plano, obtenemos conjuntos de planos cuya recta es común.

La ecuación del haz de planos secantes podemos escribir de modo general:

Haz de Planos Secantes

              Los parámetros son dos números reales.

23.34  Halla el valor de f  para que los tres planos siguientes se corten en una recta:

Haz de Planos Secantes

Respuesta: h = 4


Solución
En este caso podemos hallar el valor de h con un simple cálculo, pero en todos los casos, el camino más simple es hallar el determinante de la matriz formada por los coeficientes:

Haz de Planos Secantes

Haz de Planos Secantes

Comprobamos si el rango de coeficientes es 2:

Haz de Planos Secantes

Comprobamos también si el rango de la ampliada es 2:

Haz de Planos Secantes

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