Forma Cartesiana, implícita o general

Como en los casos anteriores, deducimos la forma implícita de la paramétrica.
Vamos a hacerlo paso a paso.
Escribimos la ecuación del plano en la forma paramétrica:

Forma Cartesiana, implícita o general

Pasamos a la izquierda del signo igual cada uno de los valores que se encuentran a la derecha de dicho signo:

Forma Cartesiana, implícita o general

Es como si tuviésemos un sistema de ecuaciones en el que todos los términos, hasta los independientes también se hallan en el primer miembro:

Forma Cartesiana, implícita o general

Sabiendo que el valor de  es 1 podremos escribir (de este modo la matriz es cuadrada):

Forma Cartesiana, implícita o general

Si calculas el determinante:

Forma Cartesiana, implícita o general

comprobarás que vale cero. La tercera columna depende del valor de cada una de las otras dos.
                             
En este determinante verás que en la primera columna puedes sacar factor común a 2 ya que se encuentra como factor en cada uno de sus elementos:

Forma Cartesiana, implícita o general

Dos factores cuyo producto es cero quiere decir que uno de ellos vale cero, el dos no puede valer cero, luego el segundo factor:

Forma Cartesiana, implícita o general

Todo esto ¿para qué?
Tomamos lo que venimos demostrando respecto a la ecuación implícita del plano:

Forma Cartesiana, implícita o general

Escribimos la matriz formada por los valores del sistema anterior:

Forma Cartesiana, implícita o general

En la segunda y tercera columnas puedo sacar factor común a yt respectivamente y escribo el determinante:

Forma Cartesiana, implícita o general

De estos dos factores (considerando kt un factor), el producto deForma Cartesiana, implícita o general no puede ser igual a cero porque son unos valores reales cada uno de ellos distintos de 0, luego quien vale cero es:

Forma Cartesiana, implícita o general

Fíjate bien que para obtener la ecuación del plano haciendo uso de determinantes necesitas los valores de los 3 vectores que ves en la figura:

Forma Cartesiana, implícita o general

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